Problemas de matemáticas que impliquen la multiplicación y división con el uso de expresiones algebraicos
De un cuadrado de lado (x), se corta un cuadrado más pequeño de lado (y), como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesten:
a) ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño? ________________________
b) Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2 ; Largo:___________ ancho:_____________
c) Expresen el área de la figura 2. A=_______________
d) Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______
2 Respuestas
A) ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño?
Entendiendo que tenemos del cuadro x, la base (b1) y la altura (h1) y del cuadro y, la base (b2) y la altura (h2). El área de la figura1 sería:
$$\begin{align}&[b_1 · (h_1 - h_2) ] + [h_2 + (b_1-b_2)]\end{align}$$b) Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2 ;
Largo o base:
$$\begin{align}&largo = b_1 + b_2\end{align}$$ancho o altura:
$$\begin{align}&ancho = h_1 - h_2\end{align}$$C) Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces.
Tenemos:
$$\begin{align}&x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)\end{align}$$1.1 La diferencia de cuadrados, genera un binomio conjugado:
(x+y)(x-y)
1.2 Por el método de factorización:
$$\begin{align}&Raíz\ cuadrada\ del\ primero \ mas \ Raíz\ cuadrada\ del\ segundo\\&Por Raíz\ cuadrada\ del\ primero \ menos \ Raíz\ cuadrada\ del\ segundo\\&(x+y)(x-y)\end{align}$$
·
a)
El área que queda es la que tenía el cuadrado inicial menos el área del que se quita. Como el área de un cuadrado es el lado al cuadrado tendremos:
$$\begin{align}&A=x^2-y^2\end{align}$$b)
El largo es x+y
El ancho (o mejor el alto) es x-y
c)
Es un rectángulo, luego su área es base por altura (o las menos claras palabras largo por ancho)
$$\begin{align}&A=(x+y)(x-y) = x^2-xy+yx-y^2 =\\&\\&x^2-y^2\end{align}$$d)
Pues por lo que hemos hecho aquí, hemos visto que el area x^2 - y^2 que quedaba tras quitar el cuadrado de lado y es la misma que la de un rectangulo de largo x+y y altura x-y cuyo valor es (x+y)(x-y). Luego
$$\begin{align}&x^2-y^2=(x+y)(x-y)\end{align}$$Y la otra haciendo las operaciones teniendo en cuenta las propiedades del cuerpo formado por los numeros reales con las operaciones suma y producto
$$\begin{align}&(x+y)(x-y) =\\&\\&\text{por la propiedad distributiva}\\&\\&(x+y)x -(x+y)y=\\&\\&\text{por la conmutativa del producto}\\&\\&x(x+y) - y(x+y) =\\&\\&\text{por la distributiva de nuevo}\\&\\&x^2 +xy -yx -y^2 =\\&\\&\text{por la conmutativa de nuevo}\\&\\&x^2+xy-xy -y^2 =\\&\\&\text{por la suma de elementos opuestos}\\&\\&= x^2+0-y^2=\\&\\&\text{por ser 0 el elemento neutro de la suma}\\&\\&= x^2-y^2\end{align}$$