Para hallar funciones exactamente de una gráfica en este caso que podría realizar...
Debo hallar los limites de integración que me ayuden a hallar esa integral al igual que definir las ecuaciones de dichas curvas.
1 Respuesta
Mi ejercicio dice aso: Dada la región S, obtenga las ecuaciones de las curvas y coloque los limites de integración que permitan calcular:
y el ejercicio da la gráfica el cual me indica por medio de la gráfica hallar los limites de integración en región tipo 1 y tipo 2.
¡Impugno el ejercicio, ja ja!
Si, lo impugno en serio. Hay infinitas curvas que pasan por esos puntos. Si quieres que lo hagamos con parábolas habrá dos parábolas únicas, pero si no dice eso las curvas son infinitas.
¿Lo hacemos con parábolas?
Eso mismo me lo dije yo, la verdad no comprendo porque exactamente ese ejercicio es así :), si con parábolas a ver si de esa manera queda mejor.
Es que no hay otra forma, basta que fuera con polinomios en y de grado 3 para que hubiera infinitas respuestas.
Ahora no recuerdo las fórmulas de Lagrange o Newton para calcular polinomios de grado 2 que pasan por 3 puntos. Pero podemos hacerlo mediante ecuaciones.
La parábola superior pasaría por:
(0,2), (4,0) y (3,-1)
y su ecuación sería
x= ay^2 + by + c
de donde se deducen estas ecuaciones
4a +2b + c = 0
c = 4
a - b + c = 3
se deducen estas dos
4a + 2b + 4 = 0
a - b + 4 = 3 sumando a la primera la segunda por 2
--------------------
6a + 12 = 6
a=-1
-4 +2b + 4 = 0
b=0
Luego la ecuación de la parábola superior es
x = -y^2 + 4
·
Y la parábola inferior pasa por
(0,2), (0,0) y (3,-1)
el punto (-1,1) que está escrito no es de la gráfica seguro.
4a + 2b + c = 0
c = 0
a - b + c = 3
se deduce
4a + 2b = 0
a - b = 3 Sumando a la 1ª la 2ª multiplicada por 2
----------------
6a = 6
a=1
4+2b=0
b=-2
Luego la ecuación de la parábola inferior es
x = y^2 - 2y
·
Con funciones x=f(y) es lo apropiado para las integrales dx dy. Si nos fijamos en todo momento las líneas horizontales del dominio tocan una parábola por la izquierda y la otra por la derecha, luego se puede hacer toda la integral de un tirón
$$\begin{align}&A=\int_{-1}^2\int_{y^2-2y}^{-y^2+4}dx dy=\\&\\&\left.\int_{-1}^2 x\right|_{y^2-2y}^{-y^2+4} dy=\\&\\&\int_{-1}^2 (-y^2+4-y^2+2y)dy=\\&\\&\int_{-1}^2 (-2y^2+2y+4)dy=\\&\\&\left[-\frac 23y^3+y^2+4y \right]_{-1}^2=\\&\\&-\frac {16}3+4+8-\frac 23-1+4=\\&\\&-\frac {18}3+15 = 12\end{align}$$Y la integral dy dx es bastante más complicada. Yo creo que deberías mandar otra pregunta para resolverla, aquí ya se trabajó bastante.
