Demostrar que 1 al cubo + 2 al cubo + 3al cubo +…+ n al cubo = (1 + 2 + 3 +…+n) al cuadrado

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Sabemos la fórmula de la suma de una serie aritmética

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}\\&\\&\text{elevado al cuadrado sería}\\&\\&\left(\sum_{i=1}^ni \right)^2=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}\\&\\&\text {demostremos por inducción que}\\&\\&\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}\\&\\&\text {para n=1 se cumple}\\&\\&1^3=\frac{1^4+2·1^3+1^2}{4}=\frac 44=1\\&\\&\text{suponiendo se cumple para n veamos para n+1}\\&\\&\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)^3 =\\&\\&\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+n^3+3n^2+3n+1=\\&\\&\frac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\\&\\&\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}=\\&\\&\text{que podemos distribuir así}\\&\text{\sin mucha dificultad puede pobarse}\\&\\&\frac{(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)+2(n^3+3n^2+3n+1)+(n^2+2n+1)}{4}=\\&\\&=\frac{(n+1)^4+2(n+1)^3+(n+1)^2}{4}\end{align}$$

Luego la fórmula es válida para n+1 y queda demostrada la inducción.

Y eso es todo.

Francisco Alvarado!

Te dejo un enlace con la demostración

http://lasmatematicas.eu/algebra/algebra/suma-de-los-cubos-de-los-n-primeros-numeros-naturales-una-demostracion-algebraica-y-otra-grafica