Por que método o procedimiento se puede resolver esta integral

Siustitución:

$$\begin{align}&x^2-1=t\\&2xdx=dt\\&xdx=\frac{dt}{2}\\&\\&\int_{2}^4 \frac{x}{x^2-1}dx=\\&\\&\int_{2}^4 \frac{1}{t}·\frac{dt}{2}=[\frac{1}{2}lnt]=[\frac{1}{2}ln|x^2-1|]_2^4=\\&\\&\frac{1}{2}(ln15-ln3)=\frac{1}{2}{ln \frac {15}{3}}=\frac{1}{2}ln5=ln \sqrt 5 \end{align}$$

·

En realidad no es una integral directa, pero vamos, para lo que le falta podemos hacerla directamente sin ningún problema

En el numerador tenemos casi la derivada del denominador solo le falta un 2, que le falta porque teníamos una constante 1/2 multiplicando a la función. Y cuando en el numerador tenemos la derivada del denominador la integral es un logaritmo neperiano del valor absoluto del denominador. Luego:

$$\begin{align}&\int_2^4 \frac{x}{x^2-1}dx = \\&\\&\left.\frac 12 ln|x^2-1|  \right|_2^4=\frac 12\left(ln|4^2-1|-ln|2^2-1|\right)=\\&\\&\frac 12(ln 15-ln3) = \frac 12ln \left(\frac {15}3\right)=\\&\\&\frac 12ln 5= ln5^{1/2}=ln \sqrt 5\end{align}$$

Y eso es todo.