¿Como se calcula el área entre cuatro parábolas?

Pues lo haremos de forma general pero siendo las cuatro parábolas iguales.

Las cuatro regiones que forman el área son iguales, luego calcularemos solo la del primer cuadrante y multiplicaremos por 4.

La parábola superior tiene la ecuación

y=ax^2

la que va hacia la derecha tiene la misma ecuación pero intercambiando la x con y

x=ay^2

vamos a ponerla como función de x para poder hacer la integración

y^2 = x/a

y = sqrt(x/a)

Donde sqrt es raíz cuadrada asi se denota internacionalmente.

El punto de intersección de las dos curvas es

$$\begin{align}&ax^2=\sqrt{ \frac xa}\\&\\&a^2x^4 =\frac xa\\&\\&\text{la solución x=0 no es la que buscamos}\\&\\&a^2x^3 = \frac 1a\\&\\&x^3= \frac{1}{a^3}\\&\\&x= \frac 1a\\&\\&\text{luego el área será}\\&\\&A=4\int_0^{\frac 1a}\left(\sqrt{\frac xa}-ax^2\right)dx=\\&\\&4\int_0^{\frac 1a}\left(\frac 1{\sqrt a}·x^{1/2}-ax^2\right)dx=\\&\\&4\left[\frac 1{\sqrt a}\frac {x^{3/2}}{\frac 32}-a·\frac{x^3}{3}  \right]_0^{\frac 1a}=\\&\\&4\left[\frac 2{3 \;\sqrt a}x^{3/2}-\frac a3 x^3  \right]_0^{\frac 1a}=\\&\\&4\left(\frac 2{3 \;\sqrt a}·\frac{1}{\sqrt{a^3}}-\frac a3 \frac 1{a^3}  \right)=\\&\\&4\left(\frac{2}{3a^2}-\frac 1{3a^2}  \right)=\\&\\&4·\frac{1}{3a^2}= \frac{4}{3a^2}\end{align}$$

Para las parabolas con a=1 que son las que salen el areá será 4/3.

·

Y eso es todo.