¿Son válidas las siguientes cuestiones sobre vectores ortogonales?

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Veámoslo

a)

$$\begin{align}&x \perp y\implies x*y=0\\&\\&||x+ay||=\sqrt{(x+ay)*(x+ay)}=\\&\\&\sqrt{x*x+a·x*y+a·x*y + a^2·y*y}=\\&\\&\sqrt{x*x+a^2·y*y}\\&\\&\\&\\&||x-ay||=\sqrt{(x-ay)*(x-ay)}=\\&\\&\sqrt{x*x-a·x*y-a·x*y + (-a)^2·y*y}=\\&\\&\sqrt{x*x+a^2·y*y}\\&\\&\text {luego }||x+ay||=||x-ay|| \\&\\&\\&\text {Y ahora en el otro sentido}\\&\\&||x+ay||=||x-ay|| \implies\\&\\&\sqrt{x*x+a·x*y+a·x*y + a^2·y*y}=\sqrt{x*x-a·x*y-a·x*y + (-a)^2·y*y}\implies\\&\\&a·x*y+a·x*y=-a·x*y-a·x*y\\&\\&2a·x*y=-2a·x*y\quad  \forall a\\&\text {tomando }a=\frac 12\\&\\&x*y = -x*y\implies x*y=0\implies x\perp y\\&\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&x\perp y\implies x*y=0\\&\\&||x+ay||=\sqrt{(x+ay)*(x+ay)}=\\&\\&\sqrt{x*x+2a·x*y + a^2·y*y}=\\&\\&\sqrt{x*x+a^2·y*y}\\&\\&Como \;z*z \ge0\quad \forall z \in V\\&\\&||x+ay||=\sqrt{x*x+a^2·y*y}\ge \sqrt{x*x}=||x||\\&\\&\text {y en el otro sentido}\\&\\&||x+ay||\ge ||x||\implies\\&\\&\sqrt{x*x+2a·x*y + a^2·y*y}\ge \sqrt{x*x}\implies\\&\\&x*x+2a·x*y + a^2·y*y\ge x*x\implies\\&\\&2a·x*y + a^2·y*y\ge0\\&\\&\text{supongamos que }x*y\neq 0\\&\\&1) Si\;x*y>0 \;tomaremos\; a\lt0\quad\text{ y dividimos entre a}\\&2·x*y + a·y*y\ge0\\&\text{y podremos tomar a suficientemente grande y negativa}\\&\text{ para que no se cumpla eso salvo que y*y=0}\\&\text{pero entonces sería y=0, y lo veremos después}\\&\\&2) Si \;x*y \lt 0\text{ tomaremos }a\gt0\quad \text{y dividimos entre a}\\&2·x*y + a·y*y\le0\\&\text {Ahora tomando a suficientemente grande se }\\&\text{contradice la desigualdad}\end{align}$$

Luego la hipótesis x*y distinto de 0 es falsa y tiene que ser

x*y=0  con los cual son ortogonales.

He dejado para estudiar aparte cuando y*y=0 que por propiedades del producto escalar significa y=0.

Bueno pues para el vector y=0 la demostración es obvia ya que viene a decir

||x+a·0|| >= ||x||

||x|| >=||x||

Lo cual es cierto.

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Y eso es todo.