Como se resuelven una integral
Buenos días, necesito resolver algunas integrales definidas y por sustitución, espero y me puedan apoyar, Gracias.
a) ∫2x^2(7-3x^3 )^5 dx b) ∫7x/(4x^2-8) dx c) ∫3xe^(1-2x^2 )dx d) ∫9^(5x+3) dx e) ∫_0^3 (1/2 x^3-2x^2+x+3 dx "Es una integral que tiene un rango 0 a 3" f) ∫_2^6 x/√(5x^2+1) dx "Es una integral de rango 2 a 6" g) ∫_0^2 3^(1-x) dx "Es una integral de rango 0 a 2" h) ∫_(-4)^0 1/(x+5) dx "Es una integral de rango de -4 a 0"
Saludos.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Son muchos ejercicios y no se pueden contestar en una sola pregunta ya que entonces la compensación apenas alcanza para el trabajo realizado. Tenemos la costumbre de contestar dos integrales como mucho en cada pregunta, luego haré las dos primeras y las otras las puedes mandar en otras preguntas en paquetes de dos.
Las dos se resuelven por cambio de variable.
$$\begin{align}&a)\quad \int 2x^2(7-3x^3)^5dx=\\&\\&t=7-3x^3\\&dt=-9x^2\,dx\implies x^2\,dx=-\frac 19dt\\&\\&=2·\left(-\frac 19 \right)\int t^5dt=\\&\\&-\frac 29·\frac{t^6}{6}+C=\\&\\&-\frac{(7-3x^3)^6}{27}+C\\&\\&\\&-------------\\&\\&\\&b) \quad \int \frac{7x}{4x^2-8}dx\\&\\&t=4x^2-8\\&\\&dt=8x\,dx\implies xdx= \frac 18 dt\\&\\&=7·\frac 18\int \frac{dt}{t}=\frac 78 ln|t| + C=\\&\\&\frac 78 ln|4x^2-8|+C\end{align}$$
