¿Cómo demostrar que es una distancia el siguiente ejercicio? D(x, y ) = 1, si...
¿Cómo demuestro que se define una distancia: d(x, y ) = 1, si x ≠ y, d (x, y ) =0, si x = y ?necesito verificar que cumple las propiedades de la distancia para así poder decir que define una métrica discreta.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Verificaremos si cumple las propiedades de una distancia.
$$\begin{align}&1)\; d(x,y)\ge0 \quad \forall x,y \in X\\&\\&\text{la cumple,las distancias posibles son 0 y 1}\\&\\&2)\;d(x,y)=0\iff x=y \quad \forall x,y \in X\\&\\&\text{la cumple por definición}\\&\\&3) d(x,y)=d(y,x) \quad \forall x,y \in X\\&\\&\text{la cumple}\\&\\&4) d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\\&\\&\text {la cumple}\\&\\&1)si \;x=z\implies 0\le a+b \quad con\; a,b \in\{0,1\}\\&\\&2)si\; x\neq z\implies 1\le a+b\quad con a,b \in \{0,1\} \text{ y además}\\&\text{uno de los a o b es distinto de 0,} \\&\text{ya que si ambos fueran cero tendríamos}\\&d(x,z) \le d(x,x)+d(x,x)\\&\text{pero como }x\neq z \text { no estaríamos aplicando bien}\\&\text{la propiedad}\\&\end{align}$$
