Función de costo con integración
La función de costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:
$$\begin{align}&dC/dq=10-100/(q+10)\end{align}$$Donde C es el costo total en dólares cuando se fabrican unidades.
- Determine la función de costo total, suponiendo que la constante de integración es de 500
- De acuerdo a la función anterior, indique el costo de fabricar 100 unidades.
2 respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Si nos dan la derivada del costo, para conocer el costo deberemos integrar la derivada.
Matemáticamente esto es la resolución de una sencilla ecuación diferencial y se escribiría así, pero si no lo entiendes quédate simplemente con que hay que hacer la integral y tacha las tres primeras líneas
$$\begin{align}&\frac{dC}{dq} = 10-\frac{100}{q+10}\\&\\&dC= \left( 10-\frac{100}{q+10} \right)dq\\&\\&\int dC=\int \left( 10-\frac{100}{q+10} \right)dq\\&\\&C = \int \left( 10-\frac{100}{q+10} \right)dq+k\\&\\&\text{la k nos dicen que debe valer 500}\\&\\&C(q)=10q-100\,ln|q+10| + 500\\&\\&\text{Y el costo de producir 100 será}\\&\\&C(100) = 10·100-100\,ln|100+10|+500=\\&\\&1000+500-100\,ln(110) =\\&\\&1500 - 100\,ln(110) \approx 1029.951963420758\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo.
Respuesta
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Te dejo los resultados
$$\begin{align}&1.\\&C(q) = \int {dC \over dq} dq = \int 10 - {100 \over q+10} \ dq =\\&10q - 100 ln |q+10| + K\\&Nos\ dicen\ que\ K=500 \ (además\ sabemos\ que\ q>0)\\&C(q) = 10q - 100 ln (q+10) + 500\\&...\\&2.\\&C(100) = 10*100 - 100 ln(100+10) + 500 \approx 1029,95\end{align}$$