Valores máximos y mínimos, puntos de inflexión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los de concavidad

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Haremos la primera derivada y luego la segunda.

$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\\&\\&y'=2(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&\text{La segunda la igualaremos a 0}\\&\\&y''= 2\left((2x-1)(2x-1)+2(x^2-x-1)  \right)=\\&\\&2(2x-1)^2+4(x^2-x-1)=\\&\\&8x^2-8x +2+4x^2-4x-4 =\\&\\&12x^2-12x-2 = 0\\&\\&\text{calculamos las raíces}\\&\\&x=\frac{12\pm \sqrt{144+96}}{24}= \frac{12\pm \sqrt {240}}{24}=\\&\\&\frac{12\pm 4 \sqrt {15} }{24}= \frac{3\pm \sqrt{15}}{6}\end{align}$$

Como esas respuestas son muy feas las pondré en decimal para poder escribirlas de forma sencilla

x1 = -0.145497224

x2 = 1.145497224

Tenemos que calcular el signo de la derivada segunda. Como es una parábola con coeficiente director positivo será positiva a los lados y negativa entre las raíces. Si no te sirve este argumento puedes tomar tres puntos de cada intervalo y calculas el valor de la derivada segunda en ellos

(-oo, -0.145497224)  f''(x)>0  ==> f(x) es cóncava hacia arriba

(-0.145497224, 1.145497224)   f''(x) <0  ==> f(x) es cóncava hacia abajo

(1.145497224, oo)  f''(x) >0  ==> f(x) es cóncava hacia arriba

Las palabras cóncava y convexa son inutilizables porque cada país, cada autor, cada libro dicen una cosa distinta. Cóncava hacia arriba es con forma de copa, y cóncava hacia abajo con forma de iglú.

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Perdón, enfrascado con la concavidad se me había olvidado lo de máximos, minimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

La función es

y=(x^2-x-1)^2

Eso significa que es no negativa, luego hallá donde valga 0 tendra mínimos.

Ya vimos que

x1 = -0.145497224

x2 = 1.145497224

eran raíces de x^2-x-1

luego esos dos puntos son mínimos y el valor de la función es 0

El otro punto crítico era 1/2.  Si una función es contibua debe tener un máximo entre dos mínimos, pero por si acaso usamos otro criterio, el valor de la derivada segunda es

y''(1/2) = 12(1/2)^2 - 12(1/2) - 2 = 3-6-2 = -5  luego es un máximo relativo

Y el valor de la función en este máximo es

[(1/2)^2 - 1/2 - 1]^2 = (1/4 - 1/2 - 1)^2 = [(1-2-4)/4]^2 =(-5/4)^2 = 25/16

Luego el máximo es (1/2, 25/16)

Y los intervalos de crecimiento decrecimiento teniendo en cuenta que f es un polinomio de grado 4 con coeficiente director positivo, por lo que empieza descendiendo desde infinito son:

(-oo, -0.145497224)  decreciente

(-0.145497224, 0.5) creciente

(0.5, 1.145497224) decreciente

(1.145497224, +oo) creciente.

Perdón, la tengo mal, confundí los ceros de la derivada segunda con los de la primera siendo que me faltaban de calcular dos de ellos. Entonces están mal los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Perdón por el fallo y puntúa a Gustavo como es debido.

Haz caso a su respuesta mientras corrijo la mía.

¡Gracias! 

Espero su corrección, perdón pero le entiendo más a usted, es más explícito, lo felicito, nos ayuda bastante con sus explicaciones. Gracias de nuevo. Saludos

Haremos la primera derivada y la igualaremos a 0 para hallar los puntos críticos. Y la segunda igualada a 0 para hallar los puntos de inflexión.

$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\\&\\&y'=2(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&\\&\\&y''= 2\left((2x-1)(2x-1)+2(x^2-x-1)  \right)=\\&\\&2(2x-1)^2+4(x^2-x-1)=\\&\\&8x^2-8x +2+4x^2-4x-4 \\&\\&y''=12x^2-12x-2\\&\\&\text{Los puntos críticos son los que }f'(x)=0\\&\\&2x-1=0\implies2x=1\implies\\&x_1=\frac 12\\&\\&x^2-x-1=0\implies x=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}\implies\\&x_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}\approx -0.618034\\&x_3=\frac{1+\sqrt 5}{2}\approx 1.618034\\&\\&\text {veamos si son máximos o mínimos con }f''(x)\\&\\&f''\left(\frac 12\right)=-5\lt0\implies \text{máximo}\\&f''(-0.618034)=10\gt0\implies \text {mínimo}\\&f''(1.618034)= 10\gt 0\implies \text{mínimo}\\&\\&f(x_2)\; y\; f(x_3)=0 \text{ por ser raíces de }x^2-x-1\\&f(0.5)=1.5625\\&\\&\text{Máximo =}(0.5,\;1.5625)\\&\text{Mínimos=} \{( -0.618034,0), \quad(1.618034,0)\}\\&\\&\text{Puntos de inflexión cuando }f''(x)=0\\&\\&12x^2-12x-2=0\\&\\&x=\frac{12\pm \sqrt{144+96}}{24}=\frac{3\pm \sqrt{15}}{6}\\&\\&x_{i_1}\approx -0.145497\\&x_{i_2}\approx 1.145497\\&\\&f(-0.145497) =f(1.145497)=0.694445\\&\\&\text{Puntos de Inflexión:}\\&(-0.145497,\;0.694445)\\&(1.145497,\;0.694445)\\&\\&\end{align}$$

Salgamos del editor de ecuaciones que en él no se pueden escribir reflexiones profundas.  Ya hemos calculado los mínimos, máximos y puntos de inflexión.

Ahora los intervalos de crecimiento o decrecimiento se pueden calculan mediante el signo de la derivada primera, esto se puede hacer evaluando puntos entre las raíces de esa derivada, o conociendo cómo se comporta la derivada. Y tambíen se pueden calcular sabiendo que donde hay un mínimo antes es decreciente y luego creciente y donde hay un máximo antes crece y después decrece.

Usaré este último. Como en x= -0.618034 hay mínimo antes decrece y luego crece hasta el maximo en x=0.5 y luego decrece hasta 1.618034 donde hay un mínimo y después crece hasta infinito.

Y para la concavidad se calcula el signo de la derivada segunda, aquí usaré que

f ''(x) = 12x^2 - 12x-2

Es un polinomio de grado 2 con signo positivo en x^2, luego es positiva a la izquierda y derecha de las raíces y negativa entre ellas. Cuando sea positiva diré que la función es cóncava hacia arriba y cuando sea negativa es cóncava hacia abajo. Es inútil intentar entenderse con las palabras cóncava y convexa, cada país, cada libro, cada autor dice una cosa distinta sobre lo que es una cosa y otra.

Cóncava hacia arriba es en forma de U y cóncava hacia abajo en forma de iglú.

Pues con todo este rollo queda que los intervalos son:

$$\begin{align}&(-\infty,\;-0.618034) \text{ decreciente}\\&(-0.618034,\;0.5)\text{ creciente}\\&(0.5,\;1.618034) \text{ decreciente}\\&(1.618034,\;\infty) \text{ creciente}\\&\\&\text{Y los de concavidad son:}\\&(-\infty,\;-0.145497) \text{ Cóncava hacia arriba}\\&(-0.145497,1.145497)\text{ Cóncava hacia abajo}\\&(1.145497,\infty)\text{ Cóncava hacia arriba}\end{align}$$

Y finalmente nada mejor que una gráfica: