Necesito demostrar lo siguiente sobre números reales. (Cálculo - análisis matemático)
$$\begin{align}& Sea \ a\ un\ nùmero\ real\ y\ A = \{a + 1/n : n \in N\}, \ demuestra\ que\ infA=a\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El ínfimo de un conjunto es la mayor de las cotas inferiores.
Como n € N tenemos
0 < 1/n
Luego sumando a en ambos lados
a < a + 1/n para todo n € N
luego a es cota inferior a A
Supongamos que a no es el ínfimo, es decir existe
b = inf(A) > a
sea d=b-a
por la propiedad arquimediana de los números reales sabemos que existe m tal que
1/m < d = b - a
entonces sumando a en ambos lados
a + 1/m < b
Pero esto es absurdo porque b era el infimo de A, y hemos encontrado el elemento a+1/m < b, lo cual contradice que sea una cota inferior de A. Por lo tanto la hipótesis de que a no es el infimo de A es falsa, luego a es el infimo de A.
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Y eso es todo.
