Espero me ayuden .sean a y b elementos de un grupo G. Demuestra que (ab)^-1=b^-1 a^-1.
Necesito ver como se hace la demostración de este este enunciado
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Juan Antonio!
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En un grupo todo elemento debe tener su inverso por definición de grupo. Y el inverso de un elemento a es aquel elemento a^-1 tal que
a·a^-1 = a^-1·a = 1
Se puede incluso demostrar que el inverso es único pero no lo necesitamos aquí.
Bien, pues vamos a comprobar si b^-1·a^-1 es el inverso de ab, solo hace falta operar aplicando las propiedades de grupo. Incluso voy a detallar la asociativa que es un estorbo, pero para que tenga todo el rigor.
$$\begin{align}&(ab)(b^{1}a^{-1}) = \\&\text{por la asociativa}\\&a[b(b^{1}a^{-1})] =\\&\text{por la asociativa}\\&a[(bb^{-1})a^{-1}] =\\&\text {por elementos inversos}\\&a[1·a^{-1}] =\\&\text{por elemento neutro}\\&a·a^{-1}=\\&\text{por elementos inversos}\\&1\\&\\&\text{luego}\\&(ab)(b^{1}a^{-1}) = 1\\&\\&\\&\text{Y ahora en el otro orden}\\&(b^{-1}a^{-1})(ab) =\\&[(b^{-1}a^{-1})a]b=\\&[b^{-1}(a^{-1}a)]b=\\&[b^{-1}·1]b=\\&b^{-1}b=1\\&\\&\text{luego}\\&(b^{-1}a^{-1})(ab)=1\\&\end{align}$$Y esas son las dos condiciones que se le pedían a b^-1·a^-1 para ser el inverso de ab y las ha cumplido, luego es su inverso.
