Dudas sobre como resolver Actividades de Continuidad

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No han salido los puntos donde debemos averiguar la continuidad. Mándalos escritos a mano.

¿Cómo podría mandarle el documento para que usted lo pudiera ver?, me podría decir como lo puedo anexar?

Gracias.

Saludos

Si puedes escanearlo a una imagen jpg por ejemplo o png (otros formatos no estoy seguro) puedes usar el icono de la izquierda que es añadir imagen. De todas formas no es necesario en esta pregunta, simplemente en la parte final no han salido tres números, di cuáles son y ya está.

1) Realiza la gráfica de la siguiente función, indique por dónde atraviesa el eje de las “y’s”, o sea la ordenada al origen, calcula los límites cuando “x” tiene a 2 y explica si la función es continua precisamente en y porqué es o no continua. (NOTA: no necesita enviar la gráfica, sólo incluya su procedimiento y conclusiones.)

f(x)={ x - 3 si x >2

3 - 2x si x<2

2) La siguiente expresión representa niveles de inventario de cierta empresa, en diferentes tiempos:

f(t)={-100t+600     si  ≤t<5

-100t+110               si  5≤t<10

-100t+1600             si 10≤t≤15

Los puntos a resolver del inciso 2 ) son estos:

Contesta las siguientes preguntas:

¿Es continua la función en t=2?
¿Es continua la función en t=5?
¿Es continua la función en t=15?

Espero que le pueda entender, es que cuando lo puse la primera vez me faltó poner las funciones en t=2,t=5 y t=15.

Gracias

Saludos

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Primera parte.

Una función atraviesa el eje Y cuando x=0. Luego debemos tomar el trozo de función que contiene el 0, que es

f(x)=3-2x si x<2

f(0) = 3 - 2·0 = 3

Luego el punto por donde atraviesa el eje Y es (0, 3)

En el punto x=2 puede haber límites laterales distintos ya que cambia la definición de la función

El límite por la izquierda se obtiene de la función:

$$\begin{align}&f(x) = 3-2x\quad  si\; x\lt2\\&\\&\lim_{x\to 2^-} (3-2x) = 3-2·2 = 3-4=-1\\&\\&\\&\text{Y el de la derecha se obtiene de la función}\\&\\&f(x) = x-3\quad  si\; x\gt 2\\&\\&\lim_{x\to 2^+}(x-3)=2-3=-1\end{align}$$

En x=2 no existe la función, esta definida antes y después pero en el 2 no.  Luego no tiene sentido la pregunta de si es continua en x=2, una función solo puede ser continua en los puntos donde está definida, por los otros no se debe preguntar.

Es una discontinuidad evitable si definieramos

f(2)=-1

Ya que entonces coincidirían los dos límites laterales con el valor de la función y sería continua.

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Segunda parte.

Vemos que la función está compuesta por tres segmentos de recta. Una recta es siempre una función continua.

1) Es continua en t=2 ya que antes y después está definida por la misma recta que es una función continua

2) En t=5 debemos examinar los límites laterales ya que cambia la definción de la función

El límite por la izquierda es

-100·5 + 600 = 100

y por la derecha

100·5 + 110 = 610

Como los límites laterales son distintos la función no es continua.

3) En x=15 solo hay límite por la izquierda, basta que coincida ese límite con el valor de la función. Y así sucede ya que el límite por la izquierda se calcula a partir de la misma recta que se usa para calcular el valor

lim x-->(15-) f(x) = f(15) = -100·15+1600 = 100

Luego es continua.

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Y eso es todo.

Aun había otro dato que no ha salido aquí

f(t)={-100t+600     si    ≤t<5

Falta un número antes del signo ≤

Yo consideré que es -infinito, a lo mejor no era eso.

Si fuera 2 variaría ligeramente el cálculo de la continuidad en el punto t=2, solo habría que calcular el límite derecho, pero seguiría siendo continua.