¿Cómo puedo demostrar lo siguiente sobre ínfimos y supremos?

El conjunto A tiene dos subconjuntos

A1 = { 1 -  1/n | n = 2m,  m en N}

A2 = {-1 + 1/n | n = 2m+1,  m en N}

No vacíos.

La sucesión

An = n con n en N es creciente y positiva

Luego la sucesión 1/n es decreciente y positiva

Luego la sucesión -1/n es creciente y negativa

Luego la sucesión 1 - 1/n es creciente

Por lo tanto el conjunto A1 tiene mínimo

mín A1 = 1-1/2 = 1/2

Y A1 tiene una cota superior que es 1

Y análogamente se demuestra

máx A2 = -1 + 1/1 = 0

Y A2 tiene una cota inferior que es -1

Luego aunque no sea estrictamente correcta lo notación podemos poner

A2 <= 0 < 1/2 <= A1

Y todos entendemos lo que se quiere decir.

Y el ínfimo de A2 servirá como ínfimo de A y el supremo de A1 será el supremo de A1.

Y el ínfimo de A2 y A sera la mayor cota inferior de A2, ya sabemos que -1 es cota inferior de A2, supongamos que existe una cota inferior c mayor que -1

c>-1  ==> c+1>0

por la propiedad arquimediana existe n tal que

1/n < c+1

Luego existe el elemento a de A2

a = -1 + 1/n < -1 +c+1 = c

a < c

Luego c no es una cota inferior, absurdo. Luego no existe una cota inferior de a2 mayor que -1, luego -1 es la mayor cota inferior de A2 y es el ínfimo de A2 y el ínfimo de A.

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Y lo del supremo es similar. El supremo es la menor cota superior, ya sabemos que 1 es una cota superior de A2 y por lo tanto de A.

Supongamos que hay una cota superior C menor que 1

C < 1

0 < 1-C

por la propiedad arquimediana existe n de N tal que

1/n < 1-C

-1/n > -1+C

1-1/n > 1 - 1 + C

1-1/n > C

a=1-1/n es un elemento de A1 mayor que C, luego C no sería cota superior, absurdo. Y por lo tanto no hay cota superior de A2 menor que 1, luego no hay cota superior de A menor que1 luego 1 es el supremo de A.

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Y eso es todo.