Demostración sobre números reales dado un real positivo y un real en el intervalo (0,1)

·

Si a<z tomamos n=1 y ya está

a^1 = a < z

Si a>=z

Tomemos logaritmos neperianos

ln(a^n) = n·ln(a)

como a<1 ==> ln(a) < 0

como z<=a<1

ln(z) < 0

tomemos el número x=ln(z)/ln(a)

Como los dos son negativos el cociente es posivo. Y por la propiedad arquimediana existe n > x

n > ln(z)/ln(a)

por ser ln(a)<0 al pasarlo al otro lado cambia el setido de la desigualdad

n·ln(a) < ln(z)

ln(a^n) < ln(z)

como la función ln(x) es creciente

a^n < z

Y ya está demostrado.

·

Y eso es todo.