¿Cómo dar solución a este tipo de integrales?

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Es una integral definida y se resuelve por cambio de variable y cambio simultáneo de límites de integración para no tener que deshacerlo en el momento de evaluar el resultado. También podría hacerse sin cambiar los límites de integración y deshaciendo el cambio antes de evaluar. Pero el método ortodoxo es el que voy a emplear.

$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x\,dx}{\sqrt{5x^2+1}}  =\\&\\&t=5x^2+1\\&dt=10x\,dx\implies x\,dx=\frac{1}{10}dt\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\left.\frac 1{10} \frac{t^{\frac 12}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left.\frac{\sqrt t}{5}\right|_{21}^{181}=\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$