Determina la integral de las funciones siguientes:
Determinar el método de integración que
$$\begin{align}&∫〖8x^2 (4x^3-5)^4 〗 dx\\&\\&∫_2^4x/(x^2-1) dx\end{align}$$e corresponda en cada caso
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La primera es una indefinida que se resuelve por cabio de variable.
La segunda es una definida, podría resolverse por cambio de variable, pero como es muy sencillo la haremos multiplicando y dividiendo por una constante para dejar dentro de la integral una derivada exacta
$$\begin{align}&\int 8x^2(4x^3-5)^4dx=\\&\\&t=4x^3-5\\&dt=12x^2dx\implies x^2dx=\frac{1}{12}dt\\&\\&=8·\int \frac 1{12}t^4dt=\frac 8{12}·\frac{t^5}{5}+C=\\&\\&\frac{2}{15}(4x^3-5)^5+C\\&\\&---------------\\&\\&\int_2^4 \frac{x}{x^2-1}dx=\frac 12\int_2^4 \frac{2x}{x^2-1}dx=\\&\\&\text{Y lo de dentro es la derivada de un logaritmo neperiano}\\&\\&\left.=\frac 12 ln|x^2-1| \right|_2^4=\frac 12\left(ln|4^2-1|-ln|2^2-1| \right)=\\&\\&\frac 12(ln\,15-ln\,3) = \frac 12 ln\left(\frac {15}3 \right)= \frac 12 ln 5\\&\\&\text {podrías incluso poner } ln \sqrt 5\text{ aunque no lo veo mejor}\end{align}$$
