¿Cómo demuestro lo siguiente sobre números reales?

 Sea a un numero real mayor que -1, demuestra que (1 + a)^n >= 1 + na para cualquier numero natural n.

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Voy a probar por inducción. Sería interesante que en los problemas indicaras en qué tema salen.

Si n=1

(1+a)^1 = 1+1a   se cumple

Supongamos se cumple para n y vamos a ver si se cumple para n+1

(1+a)^n >= 1+na

como 1+a>0 se mantiene la desigualdad al multiplicar por ello

(1+a)(1+a)^n >= (1+a)(1+na)

(1+a)^(n+1) >= 1+na+a + na^2 = 1+(n+1)a + na^2

el último termino es siempre positivo luego

(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a + na^2 >= 1+(n+1)a

(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a

Luego se cumple para n+1 y queda demostrada la inducción.

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