¿Cómo demuestro lo siguiente sobre números reales?
Sea a un numero real mayor que -1, demuestra que (1 + a)^n >= 1 + na para cualquier numero natural n.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Voy a probar por inducción. Sería interesante que en los problemas indicaras en qué tema salen.
Si n=1
(1+a)^1 = 1+1a se cumple
Supongamos se cumple para n y vamos a ver si se cumple para n+1
(1+a)^n >= 1+na
como 1+a>0 se mantiene la desigualdad al multiplicar por ello
(1+a)(1+a)^n >= (1+a)(1+na)
(1+a)^(n+1) >= 1+na+a + na^2 = 1+(n+1)a + na^2
el último termino es siempre positivo luego
(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a + na^2 >= 1+(n+1)a
(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a
Luego se cumple para n+1 y queda demostrada la inducción.
