Demostrar identidades cos (x/2) = √1+cos x/2 y sen (x/2 = √1− cos x/2 para todo xє [0, π/2]

Son las razones del ángulo mitad.

Se obtienen aplicando la fórmula del coseno del angulo doble y la fórmula fundamental de la trigonometría:

$$\begin{align}&cos2x=\cos^2x-sen^2x\\&\\&Luego:\\&cosx=\cos^2(\frac{x}{2})-sen^2(\frac{x}{2}) \\& \\&1=\cos^2(\frac{x}{2})+sen^2(\frac{x}{2})  \ Fórmula  \ fundamental\\&Sumando \ estas \ dos \ identidades:\\&1+cosx=2cos^2(\frac{x}{2}) \Rightarrow \cos(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\\&\\&Restando \ las \ dos \ identidades:\\&1-cosx=2sen^2(\frac{x}{2}) \Rightarrow sen(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\\&\end{align}$$

No sé como lo has desarrollado. Pero si llegas a 0=0 es una identidad y está demostrado

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Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble

$$\begin{align}&\cos 2a = \cos^2a-sen^2a\\&\\&\text{sustituimos } a=\frac x2\\&\\&\cos x = \cos^2\left(\frac x2  \right)-sen^2\left(\frac x2  \right)\\&\\&\text{sumando 1 en ambos lados tendremos}\\&\\&1+cosx =\cos^2\left(\frac x2  \right)+ 1-sen^2\left(\frac x2  \right)\\&\\&1+cosx =\cos^2\left(\frac x2  \right)+ \cos^2\left(\frac x2  \right) \\&\\&1+cosx = 2cos^2\left(\frac x2  \right) \\&\\&\cos^2\left(\frac x2  \right) =\frac{1+cosx}{2}\\&\\&\cos\left(\frac x2  \right) =\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\\&\\&\text{Y para la otra se resta 1 en los dos lados}\\&\\&-1+cosx =-1+\cos^2\left(\frac x2  \right)-sen^2\left(\frac x2  \right)\\&\\&-1+cosx =-sen^2\left(\frac x2  \right)-sen^2\left(\frac x2  \right)\\&\\&2sen^2\left(\frac x2  \right)=1-cosx\\&\\&sen\left(\frac x2  \right)=\sqrt {\frac{1-cosx}{2}}\\&\\&\end{align}$$

f(x) = x^3−4 definida sobre el intervalo [-2,2] hallar el valor cє (-2,2) que satisface f’(c) = 0 

f'(c) = 3c^2=0

c= 0

Luego la respuesta es c=0

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si yas está bien, no olvides puntuar.