Como calcular la probabilidad para este ejercicio sobre variables aleatorias.

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Tal vez podría hacerse con razonamientos normales. Pero es que para esta situación hay una distribución como anillo al dedo que se llama hipergeométrica y lo malo que tiene es que nunca me acuerdo de la fórmula, por eso la detesto, pero es imprescindible usarla. Iremos a la Wikipedia como todas las veces que toca un ejercicio de estos.

donde es el tamaño de población, es el tamaño de la muestra extraída, es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.

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La probabilidad de cambiar de provedor será la de que salgan 3 o más defectuosos, será mas sencillo restar de 1 la probabilidad de que salgan 0, 1 o 2. Vamos a calcular estas tres probabilidades.

En nuestro caso tendremos:

N= 40,  n = 8,  d = 5

$$\begin{align}&P(X=0) = \frac{\binom 50\binom{40-5}{8-0}}{\binom{40}{8}}=\\&\\&\frac {1·\frac{35|}{8!·27!}}{\frac{40!}{8!·32!}}=\frac{35!·8!·32!}{8!·27!·40!}=\\&\\&0.3060388324\\&\\&\\&\\&P(X=1)=\frac{\binom 51\binom{40-5}{8-1}}{\binom{40}{8}}\\&\\&\frac {5·\frac{35|}{7!·28!}}{\frac{40!}{8!·32!}}=\frac{5·35!·8!·32!}{7!·28!·40!}=\\&\\&0.4371983319\\&\\&\\&\\&P(X=2)=\frac{\binom 52\binom{40-5}{8-2}}{\binom{40}{8}}\\&\\&\frac {10·\frac{35|}{6!·29!}}{\frac{40!}{8!·32!}}=\frac{10·35!·8!·32!}{6!·29!·40!}=\\&\\&0.2110612637\\&\\&\text{La suma de las tres es la de seguir}\\&\\&P(X\le 2)=0.954298428\\&\\&\text{Y la de cambio de proveedor es}\\&\\&P(X\ge3)=1-0.954298428=0.045701572\end{align}$$

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Y eso es todo.

Haz el favor de valorar esta excelente respuesta asi como subir a excelente las otras dos que injustamente has puntuado con buena a secas. Me ha tomado mucho tiempo y esmero el contestarlas, y ya me volveré a tomar ni un solo segundo más en ti si no lo haces.