Verificar las siguientes identidades? Tengo mis dudas
sec a la 4 (X) - tan a la 4 (X) = 2sec a la 2 (X) -1
cos a la 4 x - sen a la 4 x = cos a la 2x - sen a la 2 x
4- csc a la 2 (Z) = 3 - cot a la 2 (Z)
2 Respuestas
Leidy Munera!
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$$\begin{align}&sec^4x-tg^4x=\\&\\&\text{como }sec^2x=1+tg^2x\quad\\&\text{puedes comprobarlo si no lo sabes}\\&\\&(1+tg^2x)^2-tg^4x=\\&\\&1+2tg^2x+ tg^4x-tg^4x=\\&\\&1+2tg^2x=sec^2x+tg^2x=\\&\\&\text{sumando y restando 1}\\&\\&sec^2x+1+tg^2x -1 =\\&\\&sec^2x+sec^2x-1 =\\&\\&2sec^2x-1\end{align}$$Luego es verdadera.
$$\begin{align}&\cos^4x-sen^4x=\\&\\&\text{por ser un producto notable}\\&\\&(\cos^2x+sen^2x)(\cos^2x-sen^2x)=\\&\\&\text{por la identidad fundamental}\\&\\&1·(\cos^2x-sen^2x)=\\&\\&\cos^2x-sen^2x\\&\\&\text{luego es verdadera}\\&\\&-----------------\\&\\&4-csc^2z= 4 -\frac{1}{sen^2x} =\\&\\&\frac{4sen^2x-1}{sen^2x}=\\&\\&\frac{3sen^2x+(sen^2x -1)}{sen^2x}=\\&\\&3+\frac{-\cos^2x}{sen^2x}=\\&\\&3-ctg^2x\\&\\&\text{luego es verdad}\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Manda menos ejercicios por pregunta
¿En la primera si da la verificación o no? Tu respuesta si la da pero la respuesta anterior no, ¿entonces cuál de las dos es la correcta?
La primera es correcta, el otro experto no llegó a dar con el método, pero tampoco dijo que fuera falsa, simplemente pensaba pero no tenía seguridad de nada. Yo he llegado a la conclusión de que es una identidad.
Para quedarte tranquila prueba con el ángulo que te de la gana.
Por ejemplo con 0 por la sencillez
sec(0º) = 1
tg(0º) = 0
1^4 - 0^4 = 2·1^2 - 1
1 = 2-1
1=1
O con 39,72º
sec(39.72º) = 1.30009166
tg(39.72º) = 0.8308058289
1.30009166^4 - 0.8308058289^4 = 2.380476648
2 · 1.30009166^2 -1 = 2.380476649
Estas operaciones siempre tienen alguna diferencia mínima
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O con 45º
sec(45º) = 2/sqrt(2)
tg(45º)=1
[2/sqrt(2)]^4 - 1^4 = 16/4 - 1 = 3
2[2/sqrt(2)]^2 -1 = 2·(4/2) - 1 = 4-1 = 3
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Y así prueba con el que quieras.
Cuando no se puede demostrar una cosa pero se puede probar, se prueba.
$$\begin{align}& \end{align}$$Te dejo la primera (que no me da...)
$$\begin{align}&sec^4(x) - tan^4(x) = 2sec^2(x)-1\\&\Bigg(sec(a)={1\over \cos(a)} \Bigg)\\&\Bigg({1\over \cos(x)} \Bigg)^4-\Bigg({sen(x)\over \cos(x)} \Bigg)^4= {1-sen^4(x) \over \cos^4(x)}={(1-sen^2(x))(1+sen^2(x)) \over \cos^4(x)}=\\&{(\cos^2(x))(1+sen^2(x)) \over \cos^4(x)}={1+sen^2(x) \over \cos^2(x)}=sec^2(x) + tan^2(x)\\&y\ aca\ llegue,\ asi\ que\ diria\ que\ no...\end{align}$$
Leidy. Efectivamente el primer ejercicio es como te explicó el profesor Valero. Lo que a mi me faltó para poder llegar a la conclusión era la identidad cosc^2(x) = 1+ ctg^2(x)
Que la verdad desconocía pero se demuestra muy fácil. Como el profe la dio por sabida, voy a aprovechar este espacio para dejarte la demostración.
$$\begin{align}&cosc^2(x) {}_=^?1 + ctg^2(x)\\&(empiezo\ por\ la\ expresion\ de\ la\ derecha...)\\&1+ctg^2(x)= 1+ {\cos^2(x) \over sen^2(x)}={sen^2(x)+\cos^2(x) \over sen^2(x)}={1 \over sen^2(x)}=cosc^2(x)\\&\end{align}$$y efectivamente quedó demostrada.