Tengo una duda con este problema derivadas

Casj Mate!

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Hay algún detalle en el enunciado que no cuadra.

Normalmente la la función p(x) es la función precio.

Para la ganancia se suele usar la función U(x) de utilidad.

a)

No obstante, si p(x) representa realmente la función ganancia, la ganancia promedio es la función p(x) dividida entre x

$$\begin{align}&p_m(x)=\frac{p(x)}{x}=\frac{\frac{5x-2}{2x-3}}{x}=\frac{5x-2}{(2x-3)x}=\frac{5x-2}{2x^2-3x}\\&\\&b) p_m(3) = \frac{5·3-2}{2·3^2-3·3}=\frac{13}{9}= 1.444444...\\&\\&c) p_m(8)=\frac{5·8-2}{2·8^2-3·8}=\frac{38}{104}=\frac{19}{52}=0.3653846\\&\\&d) p_m(15)=\frac{5·15-2}{2·15^2-3·15}=\frac {73}{405}= 0.1802469136\end{align}$$

Las interpretaciones son que aunque cada libro tiene su ganancia propia esos son los promedios cuando se venden 3, 8 y 15 libros.  Los promedios unifican mucha información que sería difícil de interpretar en una sola cifra, son muy útiles.

En este caso te sirve para ver que cuantos más libros vendes menos ganas en promedio por cada libro.

Pues la ganancia promedio no la tendrás derivando, sino dividiendo tu función por x, o sea

$$\begin{align}&\overline {P(x)}={P(x) \over x}= {{5x-2 \over 2x-3} \over x}={5x-2 \over x(2x-3)}={5x-2 \over 2x^2-3x}\\&y\ ahora\ resolvemos\ cada\ punto:\\&a) \ es\ directo\ lo\ anterior\\&b)\ \overline {P(3)}={5*3-2 \over 2*3^2-3*3}={13 \over 9}=1.444...\\&c)\ \overline {P(8)}={5*8-2 \over 2*8^2-3*8}={38 \over 104}=0.365\\&d)\ \overline {P(15)}={5*15-2 \over 2*15^2-3*15}={73 \over 405}=0.180\end{align}$$

y la interpretación es siempre la misma, por ejemplo para 3 libros, lo que da la ganancia promedio es que hubiesen ganado lo mismo vendiendo cada libro con una ganancia distinta que si vendían todos con la misma ganancia (en este caso de 1.444)