Tengo una duda con este problema población
Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad sera P(t)= 45000-(7200)/(2t+1)
Evalúa e interprete la razón de cambio de población a :
a) t años b) un año c)dos años d)tres años e) veinte años
Casj Mate!
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La razón de cambio de una función respecto de una variable es la derivada de esa función respecto de esa variable. En funciones de una variable la derivada a secas.
a) Calcularemos la derivada
$$\begin{align}&P(t) = 45000-\frac{7200}{2t+1}\\&\\&P'(t)=-\left( \frac{-7200}{(2t+1)^2} \right)·2=\frac{14400}{(2t+1)^2}\\&\\&\\&b) P'(1) = \frac{14400}{(2·1+1)^2}= \frac{14400}{9}=1600\\&\\&c) P'(2)=\frac{14400}{(2·2+1)^2}= \frac{14400}{25}=576\\&\\&d) P'(3)=\frac{14400}{(2·3+1)^2}= \frac{14400}{49}= 293.8776\\&\\&e) P'(20)=\frac{14400}{(2·20+1)^2}= \frac{14400}{1681}= 8.56633\end{align}$$La interpretación es que la población crece porque la derivada es siempre positiva. Pero el ritmo de crecimiento va decreciendo conforme pasa el tiempo. En el infinito la derivada será 0 y no habra creciemiento, la población se estancará en 45000 personas.
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Y eso es todo.
1 respuesta más de otro experto
La razón de cambio de una función es la derivada, luego tendremos que
$$\begin{align}&P(t) = 45000-{7200 \over 2t+1}\\&P´(t) = -{7200 \over (2t+1)^2}(-1)(2)={14400 \over (2t+1)^2}\\&y \ evaluando...\\&a)\ es la función anterior\\&b)\ P'(1) = {14400 \over (2*1+1)^2}={14400 \over 9}=1600\\&c)\ P'(2) = {14400 \over (2*2+1)^2}={14400 \over 25}=576\\&d)\ P'(3) = {14400 \over (2*3+1)^2}={14400 \over 49}=293.88\\&e)\ P'(20) = {14400 \over (2*20+1)^2}={14400 \over 1681}=8.566\\&\end{align}$$La evaluación ya está, la interpretación sería para todos los casos lo mismo y es la "velocidad" a la que va cambiando la función (lo importante en este caso es notar como la función se va "desacelerando" ya que cada vez la derivada es menor -aunque siempre será positiva-)