Como hallar el siguiente límite matemático.
Cordial saludo.
Como hallar el siguiente límite matemático, agradecería mucho la explicación y procedimiento. De antemano muchas gracias.
$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}[ \frac{x^3}{4x^3}]^\frac{x^3}{1-2x^3}\end{align}$$
2 Respuestas
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Hay que usar este teorema
$$\begin{align}&\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}= \lim_{x\to a} [f(x)]^{\lim_{x\to a}{g(x)}}\end{align}$$Y el límite de las funciones que hacen de base y de exponente son sencillos. Por ser límites en el infinito, se pueden calcular directamente dividiendo los coeficientes de x^3 ya que son funciones racionales con el mismo grado. O si no te dejan usar eso deberías dividir numerador y denominador por x^3 y te va a dar el mismo resultado que usando lo que te decia.
$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{4x^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{4}=\frac {1}{4}\\&\\&\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{(1-2x)^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{1-6x+12x^2-8x^3}=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}}{\frac{1-6x+12x^2-8x^3}{x^3}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\frac{1}{x^3}-\frac{6}{x^2}+\frac{12}{x}-8}=\\&\\&\frac{1}{0-0+0-8}=-\frac 18\\&\\&\text{Y aplicando el teorema, el límite es:}\\&\\&L=\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac 18}=4^{\frac 18}=(2^2)^{\frac 18}=2^{\frac 28}=2^{\frac 14}=\sqrt[4]{2}\end{align}$$·
Y eso es todo.
¡Madre mía cuantos problemas me está dando este límite!
Perdona German, el que he resuelto es otro anterior que probablemente era este pero mal escrito. Voy a resolver este de verdad.
Lo del teorema que se usa lo dejamos igual y voy a repetir el segundo cuadro de fórmulas
$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{4x^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{4}=\frac {1}{4}\\&\\&\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{1-2x^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}}{\frac{1-2x^3}{x^3}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\frac{1}{x^3}-2}=\\&\\&\frac{1}{0-2}=-\frac 12\\&\\&\text{Y aplicando el teorema, el límite es:}\\&\\&L=\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac 12}=4^{\frac 12}=\sqrt 4 = 2\end{align}$$·
Y eso es todo.
Tanto la base como el exponente son fracciones del mismo grado, luego sus límites dan el cociente de los términos de mayor grado
$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{4x^3} \right)=\frac{1}{4}\\&\\&\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{1-2x^3} \right)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\\&\\&\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{4x^3} \right)^{\left( \frac{x^3}{1-2x^3} \right)}=\\&\\&\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt 4=2\\&\end{align}$$