¿Quien me puede resolver estos ejercicios?
a) En no más de un párrafo explica con tus propias palabras qué es la suma de Riemann
b) Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥 o Evalúa la suma de Riemann para el intervalo [4,6]. O Propón la integral definida para la función en el intervalo [4,6] y calcula su valor por aproximación usando la regla del punto medio con n=8. O Compara el resultado del inciso b con el inciso c y explica la causa de la diferencia entre los dos resultados sí es que existe.
c) Probar que la suma de Riemann para 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 en el intervalo [1,3] es 62/ 3
1 Respuesta
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a) La suma de Riemann es un método para calcular el área limitada por el eje x, dos lineas verticales y una función. Se basa en dividir el intervalo entre las dos líneas verticales en varios trozos y tomar los rectángulos de cada trozo cuya altura es un valor de la función en ese trozo. Si existe un límite cuando el tamaño de los trozos tiende a cero ese límite es el área.
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b)
$$\begin{align}&S=\lim_{n \to \infty}\sum _{i=1}^{n}f(xi)·\Delta x_i\\&\\&\text{Haremos todos los incrementos igulales}\\&\\&\Delta x_i=\frac{6-4}{n}=\frac 2n\\&\\&x_i=4+\frac{2i}{n}\\&\\&f(x_i)= 3\left(4+\frac{2i}{n}\right)\\&\\&S=\lim_{n \to \infty}\sum _{i=1}^{n}3\left(4+\frac{2i}{n}\right)·\frac 2n=\\&\\&6·\lim_{n \to \infty}\frac 1n \sum _{i=1}^{n}\left(4+\frac{2i}{n}\right)=\\&\\&\left(6·\lim_{n \to \infty}\frac 1n \sum _{i=1}^{n}4\right)+6·\lim_{n \to \infty}\frac 1n \sum _{i=1}^{n}\frac {2i}n=\\&\\&\left(6·\lim_{n \to \infty}\frac 1n· 4n\right)+ 6·\lim_{n \to \infty}\frac {2}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i=\\&\\&\left(6·\lim_{n \to \infty} 4\right)+6·\lim_{n \to \infty}\frac {2}{n^2}·\frac{n(n+1)}{2}=\\&\\&6·4+6·\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+n}{n^2}=24+6·1 =30\\&\\&\\&\text{La integral definida es}\\&\\&\int_4^63x\;dx\\&\\&\\&\text{Con el punto medio y n=8 será}\\&\\&\Delta x=\frac{6-4}{8}=\frac 28\\&\\&\text{El primer punto será}\\&\\&4+\frac 18= \frac {33}{8}\\&\\&\text{y los 8 serán}\\&\\&\frac{33}{8},\frac{35}{8},\frac{37}{8},\frac{39}{8},\frac{41}{8},\frac{43}{8},\frac{45}{8},\frac{47}{8}\\&\\&\text{y la suma del ancho por la función en los 8 será}\\&\\&\frac 28·\frac 38·\frac{8(33+47)}{2}=\frac 38·80=30\end{align}$$La suma es la misma, eso es debido a que la función se puede descomponer en trapecios cuya área es la altura por la semisuma de las bases. Estos trapecios están puestos de pie y la semisuma de las bases se corresponde con el valor de la función en el punto medio. Por eso da el área exacta.
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c) Se supone que probar no es calcular por el mismo método. Si así fuera sería necesaria una pregunta nueva porque lleva bastante trabajo. Lo que so entiendo por probar una suma Riemann es hacer la integral definida y comparar.
$$\begin{align}&\int_1^3(x^2+3x)dx=\\&\\&\left[\frac {x^3}3+\frac{3x^2}{2} \right]_1^3=\\&\\&9 +\frac{27}{2}-\frac 13-\frac 32=\\&\\&\frac{54+81-2-9}{6}=\frac {124}6=\frac{62}{3}\\&\\&\end{align}$$Luego está bien hecha.
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Y eso es todo.
