Como se encuentra el centralizador de una matriz en Gl(2,R)
Agradezco de antemano la ayuda que me puedan brindar.
Sea G=GL(2,R). Encuentre:
$$\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}$$
1 respuesta
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Sea M esa matriz.
Una matriz A pertenecera al centralizador de M si AM=MA
(a b) (1 1) (a+b a)
(c d) x (1 0) = (c+d c)
·
(1 1) (a b) (a+c b+d)
(1 0) x (c d) = (a b )
·
Y deben ser iguales los cuatro elementos de las dos matrices, luego:
1) a+b = a+c ==> b=c
2) a = b+d
3) c+d= a
4) c = b
La 4) ya se había deducido en la primera
Si se cumple primera y segunda se cumple la tercera
Luego podemos definir el grupo por estas dos condiciones
1) b=c
2) a = b+d
La cual nos dice que las matrices del centralizador son las que tienen esta forma:
(c+d c)
(c d)
para todo c, d de R.
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Y eso es todo.
Muchas gracias por la ayuda, además no sé si me podrías informar como obtengo el centro del grupo es decir Z(G), es que me faltó ponerlo en la descripción.
Manda otra pregunta nueva y lo intentaré resolver en ella, parece algo lioso pero a lo mejor es fácil, ahora mismo no puedo aventurarlo.
¡Gracias! lo logré resolver :)
Son las matrices de la forma
(K 0)
(0 k)
Para todo k de R
