Tengo esta duda con este problema de calculo

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Colocaremos el sistema de coordenadas de la forma más comoda posible, con la alruar del triángulo sobre el eje Y y la base sobre el eje X.

Entonces las coordenadas de las ciudades serán

A(-8,0),   B(8,0),   C(0,10)

Nos dicen que la estación de bombeo está sobre la altura, luego sus coordenadas serán (0, y)

Y ahora debemos calcular la suma de las distancias de las ciudades a este punto.

$$\begin{align}&d(y)=\sqrt{8^2+y^2}+\sqrt{8^2+y^2}+\sqrt {(10-y)^2+0^2}\\&\\&d(y) = 2 \sqrt{8+y^2}+10-y\\&\\&\text{En realidad sería |10-y|}\text{ pero por la figura}\\&\text{ya se ve que 10-y será la cantidad positiva}\\&\\&\text{Derivamos d respecto de y e igualamos a 0}\\&\\&d'(y)=2·\frac{2y}{2 \sqrt{8+y^2}}-1 = 0\\&\\&\frac{2y}{\sqrt{8+y^2}}=1\\&\\&2y = \sqrt{8+y^2}\\&\\&\text {Ojo aquí antes de elevar al cuadrado, se ve que}\\&\text{y debe ser positiva, si no no cumple}\\&\\&4y^2 = 8+y^2\\&\\&3y^2=8\\&\\&y^2 = \frac 83\\&\\&y=\sqrt \frac 83=\frac{2 \sqrt 2}{3}\approx 1.632993\end{align}$$

Y no cabe la menor duda de que es un mínimo ya que tomando un punto y muy alejado la distacia sería mayor, luego no puede ser máximo.

Luego la distancia a la base es 1.632993 millas.

Y eso es todo.

¡Gracias! 

¡Caramba! Gracias Gustavo.

Tuve un fallo que se me olvidó elevar un 8 al cuadrado, vuelvo a hacerlo todo.

$$\begin{align}&d(y)=\sqrt{8^2+y^2}+\sqrt{8^2+y^2}+\sqrt {(10-y)^2+0^2}\\&\\&d(y) = 2 \sqrt{64+y^2}+10-y\\&\\&\text{En realidad sería |10-y|}\text{ pero por la figura}\\&\text{ya se ve que 10-y será la cantidad positiva}\\&\\&\text{Derivamos d respecto de y e igualamos a 0}\\&\\&d'(y)=2·\frac{2y}{2 \sqrt{64+y^2}}-1 = 0\\&\\&\frac{2y}{\sqrt{64+y^2}}=1\\&\\&2y = \sqrt{64+y^2}\\&\\&\text {Ojo aquí antes de elevar al cuadrado, se ve que}\\&\text{y debe ser positiva, si no no cumple}\\&\\&4y^2 = 64+y^2\\&\\&3y^2=64\\&\\&y^2 = \frac {64}3\\&\\&y=\sqrt \frac {64}3=\frac{8}{\sqrt 3}= \frac {8 \sqrt 3}3=4.6188\end{align}$$

Ahora está bien.  La respuesta de Gustavo tiene un fallito como yo lo tuve.

Veamos una imagen para entender que preguntan

La idea es ver donde localizar el punto D para minimizar la cañería. Está claro que sobre el eje X debe estar en x=8, el tema es ver en que valor sobre y debe estar

D = (8, y)

y las cañerías serían: (d: es la distancia - Sqrt: raíz cuadrada)

c = d(D,A) + d(D,B) + d(D,C)

c = Sqrt((8-8)^2+(y-10)^2) + Sqrt((8-16)^2+(y-0)^2) + Sqrt((8-0)^2+(y-0)^2)

Pasaré al editor de ecuaciones porque lo que vamos a tener que hacer ahora es minimizar c

$$\begin{align}&c(y) = \sqrt{(8-8)^2+(y-10)^2} + \sqrt{(8-16)^2+(y-0)^2} + \sqrt{(8-0)^2+(y-0)^2}\\&c(y) = \sqrt{0+(y-10)^2} + \sqrt{64+y^2} + \sqrt{64+y^2}\\&c(y) = \sqrt{(y-10)^2} + 2*\sqrt{64+y^2}\\&c'(y) ={1\over 2}{1 \over \sqrt{(y-10)^2}}2(y-10) + 2*{1\over 2}{1\over \sqrt{64+y^2} }2y\\&Acomodando\ los\ datos\\&c'(y) ={(y-10) \over \sqrt{(y-10)^2}} + {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&c'(y) ={(y-10) \over |(y-10)|} + {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&Opciones\\&a)\ c'(y) =1 + {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&\lor\\&b)\ c'(y) =-1 + {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&Para\ que\ sea\ minimo\ c'(y)=0\\&a)\ 0 =1 + {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&-1 = {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&-\sqrt{64+y^2}  = 2y  \\&-64-y^2 = 4y^2\\&-64 = 5y^2\\&y=\sqrt{-64\over 5}\\&NO\ tiene\ solución\ real\\&\\&b)\\& 0 =-1 + {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&1 = {2y\over \sqrt{64+y^2} }\\&\sqrt{64+y^2}  = 2y  \\&64+y^2 = 4y^2\\&64 = 3y^2\\&y=\sqrt{64\over 5}\\&y=3.5777\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

o sea que la solución es D = (8, 3.5777)

Perdón, con el apuro olvidé verificar que sea mínimo (aunque es seguro que lo será, hay que verificarlo). Para esto debemos evaluar la función c(y) en 3.5777 y en puntos a los costados de D, para esto considero y= 0 e y = 10 (simplemente porque simplificará los cálculos).

$$\begin{align}&c(y) = \sqrt{(y-10)^2} + 2*\sqrt{64+y^2}\\&c(0) = \sqrt{(0-10)^2} + 2*\sqrt{64+0^2}=10+2*8=26\\&c(10) = \sqrt{(10-10)^2} + 2*\sqrt{64+10^2}=25,61\\&c(3.5777) =  \sqrt{(3.5777-10)^2} + 2*\sqrt{64+3.5777^2}=23,94\\&\\&\\&\end{align}$$

Efectivamente se verifica que la función c(y) tiene un mínimo en D