Tengo una duda con estos interrogantes de estadística

Roberto C. Caballero!

1.- Dos sucesos independientes cumplen:

$$\begin{align}&P(A \cap B)=P(A)·P(B)=\frac{1}{6}\\&\\&P(\overline{A \cup B})=\frac{1}{3} \Rightarrow P(A \cup B)=\frac{2}{3}\\&\\&P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\&\\&\frac{2}{3}=P(A)+P(B)-\frac{1}{6} \Rightarrow\\&\\&P(A)+P(B)=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\\&\end{align}$$

Luego no están determinadas de forma única

2.-

$$\begin{align}&P(A \cap B)=P(A)·P(B)=\frac{1}{6}\\&\\&P(A-B)=P(A \cap \overline{B})=P(A)·P( \overline {B})=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(A)·P(B)\\&\\&\frac{1}{3}=P(A)-\frac{1}{6} \Rightarrow P(A)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \Rightarrow\\&\\&P(B)=\frac{1}{6}:P(A)=\frac{1}{6}:\frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\end{align}$$

Luego si están determinadas de forma única

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Dos sucesos son independientes si y solo si

$$\begin{align}&P(A\cap B)=P(A)·P(B)\\&\\&P(A)·P(B)=\frac 16\\&\\&\text{La probabilidad de ninguno es}\\&\\&P((A\cup B)^C)= P(A^C\cap B^C)=\\&\\&\text{A, B indeps }\implies A^C,\;B^C \text{ indeps}\\&\\&=P(A^C)·P(B^C) = \\&\\&(1-P(A))(1-P(B))= \frac 13\end{align}$$

Lo de que los complemetarios son independientes puede verse aquí

http://www.uv.es/ceaces/base/probabilidad/independen.htm

$$\begin{align}&\text{Para manejar incógnitas menos molestas }\\&\\&x=P(A)\\&\\&y=P(B)\\&\\&\text{tenemos dos ecuaciones}\\&\\&xy= 1/6  \implies x=\frac{1}{6y}\\&\\&(1-x)(1-y)=\frac 13\\&\\&\left(1-\frac{1}{6y}\right)(1-y) = \frac 13\\&\\&\left(\frac{6y-1}{6y}\right)(1-y) = \frac 13\\&\\&\frac{6y-6y^2-1+y}{6y}=\frac 13\\&\\&-6y^2+7y-1=2y\\&\\&6y^2-5y+1=0\\&\\&y=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}=\frac{6}{12}\;y\;\frac 7{12}\\&\\&x=\frac{1}{6y}=\frac 13\;y\; \frac 27\end{align}$$

Luego pueden darse dos pares de respuestas, no hay solución única

P(A)=1/3,  P(B)=1/2

P(A)=2/7,  P(B)7/12

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Roberto, no son ejercicios fáciles. ¿Podrías mandar el segundo en otra pregunta?