Que ec diferencial podría utilizar mediante esta situación descrita
Escribir una ED que sea el modelo de la situación descrita:
“Toda línea normal a la gráfica de g pasa a través del punto (0,1). Proponga cómo sería la gráfica de la función g”
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Diosa Lara!
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Sabemos que la pendiente de la tangente en un punto xo es
m =f '(xo)
Y la normal a la tangente tiene una pendiente m' tal que
mm' = -1
luego la pendiente de la normal es
-1/f'(xo)
Y la recta normal en un punto (xo, yo) es
$$\begin{align}&y=y_0-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\\&\\&\text{Como debe pasar por (0,1)}\\&\\&1=y_0-\frac{1}{f'(x_0)}(0-x_0)\\&\\&1 = y_0+\frac{x_0}{f'(x_0)}\\&\\&\text{Esto es para todo }(x_0,y_9)\\&\text{la ecuación diferencial es}\\&\\&1 =y + \frac{x}{y'}\\&\\&1=\frac{yy'+x}{y'}\\&\\&y'=yy'+x\\&\\&(1-y)y'=x\\&\\&\text{Y la solución es}\\&\\&y -\frac {y^2} 2 =\frac{x^2}{2}+C\\&\\&2y-y^2=x^2+C\\&\\&y^2-2y=-x^2+C\\&\\&(y^2-2y+1)-1 = -x^2+C\\&\\&(y-1)^2=-x^2+C+1 = -x^2+C\\&\\&x^2+(y-1)^2 = C\\&\\&\end{align}$$Esto son las circunferencias con centro en el punto (0,1)
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Y eso es todo.
