Hallar la integral de la siguiente función

El cambio es el mismo y los primeros pasos son casi iguales. Ya te advierto que no se puede escribir mucho con el editor de fórmulas, puede que abrevie pasos y no daré explicaciones.

$$\begin{align}&\int sec^3t=\int \frac{dt}{\cos^3t}=\\&\\&tg \frac t2=u\\&\\&cost=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\&\\&dt = \frac {2du}{1+u^2}\\&\\&=\int \frac{(1+u^2)^3}{(1-u^2)^3}·\frac {2du}{1+u^2}=\int \frac{2(1+u^2)^2du}{(1-u^2)^3}=\\&\\&\frac{a}{1-u}+\frac{b}{(1-u)^2}+\frac{c}{(1-u)^3}+\frac{d}{1+u}+\frac{e}{(1+u)^2}+\frac{f}{(1+u)^3}\\&\\&\text{habría que calcular esas fracciones simples y cuesta lo suyo.}\\&\text{La solución es}\\&\\&=\frac 12(ln|1+u|-ln|1-u|)+\frac{u^3+u}{(u^2-1)^2}+C=\\&\text{el primer paréntesis ya se calculó en la integral de la secante}\\&\\&= \frac 12 ln |sec\,t+tg\,t|+\frac{tg^3 \left(\frac t2 \right)+tg \left(\frac t2 \right)}{\left(tg^2 \left(\frac t2 \right)-1\right)^2}+C=\\&\\&\frac 12 ln |sec\,t+tg\,t|+\frac{\frac{sen(t/2)}{\cos^3(t/2)}}{\left(\frac{sen^2(t/2)-\cos^2(t/2)}{\cos^2(t/2)}  \right)^2}+C=\\&\\&\frac 12 ln |sec\,t+tg\,t|+\frac{sen(t/2)·\cos(t/2)}{\cos^2t}+C=\\&\\&\frac 12 ln |sec\,t+tg\,t|+\frac{1}{2}\frac{sent}{\cos^2t}+C\\&\\&\end{align}$$

Probablemente en cada programa que hagas esta integral te dará una expresión distinta.  Por ejemplo el último término te lo pueden poner como sect·tgt y los dos primeros de varias formas también.  Esta es de las más simplificadas y se ha comprobado que está bien.