¿Cuál es la solución para esta Derivada?

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola k4p0n3!

·

¿Seguro qué por definición?

Bueno, la función derivada es:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=limh→04(x+h)2−5(x+h)+8−3x+h−4x2+5x−8+3xh=limh→04x2+8xh+4h2−5x−5h−3x+h−4x2+5x−8+3xh=limh→08xh+4h2−5h+−3x+3(x+h)(x+h)xh=8x−5+limh→0⎛⎝4h+3h(x+h)xh⎞⎠=8x−5+0+limh→03(x+h)x=8x−5+3x2

Y ahora haciendo el mismo proceso con f'(x) se calcula f''(x)

$$\begin{align}& f''(x)=8-\frac{6}{x^3}\\&\\&f'''(x) = \lim_{h\to 0}\frac{8-\frac{6}{(x+h)^3}-8+\frac{6}{x^3}}{h}=\\&\\&\lim_{h \to 0} \frac{-6x^3+6(x+h)^3}{h(x+h)^3x^3}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-6x^3+6x^3+18x^2h+18xh^2+6h^3}{h(x+h)^3x^3}=\\&\\&\lim_{h\to 0} \frac{18x^2+18xh+6h^2}{(x+h)^3x^3}=\frac{18x^2}{x^3x^3}=\frac{18}{x^4}\\&\\&--------------------\\&\\&\text{Y la cuarta derivada es}\\&\\&f^{(4)}(x)= \frac{\frac{18}{(x+h)^4}-\frac{18}{x^4}}{h}=\\&\\&18·\lim_{h\to 0}\frac{x^4-(x+h)^4}{h(x+h)^4x^4}=\\&\\&18·\lim_{h\to 0}\frac{x^4-x^4-4x^3h-6x^2h^2-4xh^3-h^4}{h(x+h)^4x^4}=\\&\\&18·\lim_{h\to 0}\frac{-4x^3-6x^2h-4xh^2-h^3}{(x+h)^4x^4}=\\&\\&18·\frac{-4x^3}{x^4x^4}=-\frac{72}{x^5}\end{align}$$

He hecho varios pasos en uno a lo mejor pero es que si no no se avanza y cuanta más se escribe más se va atascando el ordenador haste llegar a ser imposible seguir.

Bueno, me ha borrado las derivadas tercera y cuarta. Cuando va mal el servidor pasan cosas de estas. Mejor te mando lo que hay no sea que pierda todo el trabajo y entonces ...

Espera a ver si se puede mandar esto y después intento escribir de nuevo esas derivadas que vaya gracia me hace.

Ah, espera, lo que ha hecho es poner las derivadas 3ª y 4ª en el cuadro donde estaba la segunda, muy tipico también de esta página. Perdona por el desorden, te mando esto y luego te mando la derivada segunda.

Vaya asco de página. La derivada primera no ha salido bien escrita, es decir que faltan la primera y segunda. Espera, que tenía que llevar ya horas en la cama. Vamos a hacer una cosa, mándame otra pregunta para las derivadas primera y segunda, ya he trabajado mucho aquí y no es culpa mía que no puedas tener el ejercicio completo que a mi no me gusta tener que volver a repetir lo que ya hice.

$$\begin{align}&f′(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}h\\&\\&f′(x)\lim_{h→0}\frac{4(x+h)2−5(x+h)+8−\frac 3{x+h}−4x^2+5x−8+\frac 3x}h=\\&\\&\lim_{h→0}\frac{4x^2+8xh+4h^2−5x−5h−\frac 3{x+h}−4x^2+5x−8+ \frac 3x}h=\\&\\&\lim_{h→0} \frac{8xh+4h^2−5h+\frac{−3x+3(x+h)}{(x+h)x}}h=\\&\\&8x−5+\lim_{h→0}\left(4h+\frac{3h}{(x+h)xh}\right)=\\&\\&8x−5+0+\lim_{h→0} \frac 3{(x+h)x}=8x−5+3x^2\end{align}$$

Bueno trabajando bastante se pudo recuperar la derivada primera del amasijo que había dejado la página.  Pero para la derivada segunda mándame otra pregunta.