¿Con qué método resolver las integrales y cómo?

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La primera no tiene función primitiva expresable como combinación de funciones elementales. Es decir, que tomes la función que tomes de las que se obtienen combinando polinomios, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbolicas y sus inversas no conseguiráas nunca que la derivada sea x^(1/x)

La página Wolfram Alpha te lo dice claramente

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x^%281%2Fx%29

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La segunda es de las que al resolverla dos veces seguidas por partes llegas a la misma integral que al principio y entonces se saldan cuentas.

$$\begin{align}&I=\int e^{3x} sen 2x\;dx=\\&\\&u=sen2x\quad\quad du = 2 \cos 2x\;dx\\&dv=e^{3x}dx\quad\quad v=\frac 13e^{3x}\\&\\&=\frac{e^{3x}sen 2x}{3}-\frac 23\int e^{3x} \cos 2x\;dx=\\&\\&u=\cos 2x\quad\quad du=-2sen2x\;dx\\&dv=e^{3x}dx\quad\quad v=\frac 13e^{3x}\\&\\&=\frac{e^{3x}sen 2x}{3}-\frac 23·\frac {e^{3x}\cos 2x}3-\frac 49\int e^{3x}sen 2x\;dx\\&\\&\text{hemos vuelto a la integral inicial, luego}\\&\\&I=\frac{e^{3x}}9\left(3sen 2x-2cos 2x  \right)-\frac 49I\\&\\&\frac{13}{9}I=\frac{e^{3x}}9\left(3sen 2x-2cos 2x  \right)\\&\\&I =\frac{e^{3x}}{13}\left(3sen 2x-2cos 2x  \right)\end{align}$$

Y eso es todo.