Necesito resolver este ejercicio de cálculo

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La fórmula de Taylor es:

$$\begin{align}&f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\&\\&\text{donde }\xi \text{ está entre a y x}\end{align}$$

Luego lo principal es que calcules cuantas derivadas necesites

f(x) = cos(2x)  ==>      f(pi/2) = cos(pi) = -1

f'(x) = -2sen(2x) ==>   f'(pi/2) = -2sen(pi) = 0

f''(x) = -4cos(2x) ==>  f''(pi/2) = -4cos(pi) = 4

f'''(x) = 8sen(2x) ==>  f'''(pi/2) = 8 sen(pi) = 0

f''''(x) = 16cos(2x) ==> f''''(pi/2) = 16cos(pi) = -16

f(5)(x) = -32sen(2x) ==> f(5)(pi/2) = -32sen(pi) = 0

f(6)(x) = -64cos(2x) ==> f(6)(pi/2) = -64cos(pi) = 64

La forma de obtener estos coeficientes es dando coeficiente k al (-1)

(-1)^k

Pero dando coeficientes 2k a la derivada, factorial y exponente

$$\begin{align}&\cos 2x=\sum_{k=0}^n (-1)^n \frac{2^{2n}}{(2n)!}\left(x-\frac \pi 2   \right)^{2n}\\&\\&\text{El término residual es bastante complicado}\\&\\&\text{desarrollamos un poco la serie}\\&\\&\cos 2x = 1-2\left(x-\frac \pi 2  \right)^2+\frac 23\left(x-\frac \pi 2  \right)^4-\frac{8}{15}\left(x-\frac \pi 2  \right)^6+...\end{align}$$

Y eso es todo.

Esta es la formulación general para desarrollo en serie Taylor de una función alrededor de un punto definido x=a. Tu desarrollo ya lo has hecho...

Luego f(x) = cos ( 2x) = (alrededor del punto x= pi/2) = -1 + 4/2! (x-pi/2)^2+(-16/4!) (x-pi/2)^4 = -1 + 2 (x-pi/2)^2 - 0.6666 ( x-pi/2)^4