Anónimo
Necesito resolver este ejercicio de cálculo
buenas noches podría sacarme de la duda con este ejercicio de polinomio de Taylor de grado 4 para la función f(x)= cos (2x) alrededor del punto pi/2
ya tengo resuelto hasta p(x)= -1 + 4/2! (x-pi/2)^2+(-16/4!) (x-pi/2)^4
$$\begin{align}&-1+4/2!(x- π/2)^2+((-16)/4!) (x- π/2)^4\end{align}$$y la verdad no entiendo que es lo que sigue, podría explicarme por favor..:)
Gracias!!!!!!
Esta es la formulación general para desarrollo en serie Taylor de una función alrededor de un punto definido x=a. Tu desarrollo ya lo has hecho...
Luego f(x) = cos ( 2x) = (alrededor del punto x= pi/2) = -1 + 4/2! (x-pi/2)^2+(-16/4!) (x-pi/2)^4 = -1 + 2 (x-pi/2)^2 - 0.6666 ( x-pi/2)^4
1 respuesta más de otro experto
·
La fórmula de Taylor es:
$$\begin{align}&f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\&\\&\text{donde }\xi \text{ está entre a y x}\end{align}$$Luego lo principal es que calcules cuantas derivadas necesites
f(x) = cos(2x) ==> f(pi/2) = cos(pi) = -1
f'(x) = -2sen(2x) ==> f'(pi/2) = -2sen(pi) = 0
f''(x) = -4cos(2x) ==> f''(pi/2) = -4cos(pi) = 4
f'''(x) = 8sen(2x) ==> f'''(pi/2) = 8 sen(pi) = 0
f''''(x) = 16cos(2x) ==> f''''(pi/2) = 16cos(pi) = -16
f(5)(x) = -32sen(2x) ==> f(5)(pi/2) = -32sen(pi) = 0
f(6)(x) = -64cos(2x) ==> f(6)(pi/2) = -64cos(pi) = 64
La forma de obtener estos coeficientes es dando coeficiente k al (-1)
(-1)^k
Pero dando coeficientes 2k a la derivada, factorial y exponente
$$\begin{align}&\cos 2x=\sum_{k=0}^n (-1)^n \frac{2^{2n}}{(2n)!}\left(x-\frac \pi 2 \right)^{2n}\\&\\&\text{El término residual es bastante complicado}\\&\\&\text{desarrollamos un poco la serie}\\&\\&\cos 2x = 1-2\left(x-\frac \pi 2 \right)^2+\frac 23\left(x-\frac \pi 2 \right)^4-\frac{8}{15}\left(x-\frac \pi 2 \right)^6+...\end{align}$$Y eso es todo.