Considere un sistema con dos elementos α y β y las siguientes reglas de suma y multiplicación
α + α = α, α + β = β, β + α = β, β + β = α, α · α = α, α · β = α, β · α = α, β · β = β. Demuestre que este sistema forma un cuerpo
1 Respuesta
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Habria que ir probando las propiedades una por una para las cuatro operaciones posibles. Perdona pero la alfa y beta no son letras fácilmente escribibles, usare a y b.
LA SUMA
a+a=a, a+b=b, b+a=b, b+b=b
1) Conmutativa
a+b=b+a=b
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2) Asociativa
a + (a+a) = a+a=a; (a+a)+a = a+a=a
a + (a+b) = a+b=b; (a+a)+b= a+b=b
a + (b+a) = a+b=b; (a+b)+a = b+a=b
a + (b+b) = a+a=a; (a+b)+b = b+b=a
b + (a+a) = b+a=b; (b+a)+a = b+a= b
b + (a+b) = b+b=a; (b+a)+b = b+b=a
b + (b+a) = b+b=a; (b+b)+a = b+a=b
b + (b+b) = b+a=b; (b+b)+b = a+b=b
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3) Elemento neutro, es el a
a+a = a
a+b = b+a = b
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4) Elemento inverso (llamado opuesto en la suma y denotado con un - delante)
a+a = a ==> (-a) = a
b+b = a ==> (-b) = b
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La multiplicación
aa=a, ab=a, ba=a, bb=b
1) Conmutativa
ab=ba=a
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2) Asociativa
a(aa)=aa=a; (aa)a=aa=a
a(ab)=aa=a; (aa)b=ab=a
a(ba)=aa=a; (ab)a=aa=a
a(bb)=ab=a; (ab)b=ab=a
b(aa)=ba=a; (ba)a=aa=a
b(ab)=ba=a; (ba)b=ab=a
b(ba)=ba=a; (bb)a=ba=a
b(bb)=bb=b; b(bb)=bb=b
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3) Elemento neutro, es el b
ab=ba = a
bb=b
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4) Elemento inverso para todos los elementos salvo el elemento neutro de la suma
bb=b ==> b^(-1) = b
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Distributiva del producto respecto de la suma
a(a+a)=aa=a; aa+aa=a+a=a
a(a+b)=ab=a; aa+ab=a+a=a
a(b+a)=ab=a; ab+aa=a+a=a
a(b+b)=aa=a; ab+ab=a+a=a
b(a+a)=ba=a; ba+ba=a+a=a
b(a+b)=bb=b; ba+bb=a+b=b
b(b+a)=bb=b; bb+ba=b+a=b
b(b+b)=ba=a; bb+bb=b+b=a
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Luego se cumplen todas las condiciones para ser un cuerpo.
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Y eso es todo.
