Aplicación de derivadas. Problemas de optimización.
En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?
Fórmula del costo total del pedido C(x)
$$\begin{align}&C_{T}(x)=\frac{100.000.000}{x} +100x+50\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Los máximos y mínimos se calculan derivan la función e igualando a 0.
$$\begin{align}&C_T(x) = \frac{100.000.000}{x}+ 100x + 50\\&\\&C_T'(x) = -\frac{100.000.000}{x^2}+100=0\\&\\&100=\frac{100.000.000}{x^2}\\&\\&100x^2 = 100.000.000\\&\\&x^2=1.000.000\\&\\&x=\pm 1000\\&\\&\text{La respuesta -1000 carece de sentido aquí}\\&\\&\text{la derivada segunda es}\\&\\&C_T''(x) = 2·\frac{100.000.000}{x^3}\\&\\&C_T''(1000) = \frac 2{10}\gt0\\&\\&\text{luego en x=1000 hay un mínimo}\\&\\&\text{Y el costo mínimo es}\\&\\&C_T(1000) = \frac{100.000.000}{1000}+100·1000+50=\\&100.000+100.000+50 = 200.050\end{align}$$Luego hay que encargar 1000 paquetes. El costo será 200.050
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Y eso es todo.
