Ejercicio de aplicaciones de la derivada:
Hola, tengo este ejercicio : El diámetro de un árbol era de 10 pulgadas. Durante el año siguiente la circunferencia aumentó 2 pulgadas. ¿Aproximadamente cuánto se incrementò el diámetro del árbol? ¿Cuánto se creciò el área de su sección transversal?
Bueno empezamos a ver hoy aplicaciones de la derivada y el profesor dedujo estas fòrmulas: 1)f'(a) dx = dy
2) f'(a) dx + f(a) ≈ f(a + dx)
y esta: ay≈Δy
y nos dijo que dp=lo que creciò el perìmetro y dr=lo que creciò el radio. Y dijo que el diàmetro aumentò 2pi pulgadas (algo asì). Bueno la verdad no entendì bien como usar esas fòrmulas en estos ejercicios, me confundì, por favor me explican, gracias.
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La primera
dy= f'(a) dx
Supongo que os la habrá dado como definición, no se deduce de nada anterior.
Como la derivada es la tangente en el punto a, dy representa el cateto opuesto al ángulo alfa en a y dx el cateto adyacente, ya que el cociente del opuesto entre el adyacente es la tangente
dy/dx = tg(alfa) = f'(a)
En puntos muy cercanos a a podemos sustituir la función f(x) por la recta tangente, entonces
f(a+dx) ≈ f(a) + dy = f(a) + f'(a)dx
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En el ejercicio tenemos la función longitud de la circunferencia en función del diámetro D, pero para no armar líos a esa función la llamaremos f y el diámetro lo denotaremos con x
f(x) = pi·x
f'(x) = pi
El incremento de longitud de la circunferencia ha sido
dy = 2 pulgadas
2 = f'(10) · dx
2 = pi· dx
dx = 2/pi = 0.63666197724 pulgadas
Ese es el incremento de diámetro. En este caso es el incremento exacto ya que la función longitud de la circunferencia es lineal y por lo tanto coincide con su recta tangente.
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La sección transversal ya no es una función lineal. El área del círculo (g) en función del diámetro (x) es
g(x) = pi· x^2 / 4
la derivada es
g'(x) = pi·x / 2
y la derivada en x=10 es
g'(10) = 5pi
tendremos
dy = 5pi dx
el dx se calculó antes, tomamos 2/pi en lugar de la expresión decimal
dy = 5pi · (2/pi) = 10
Luego la sección creció aproximadamente en 10 pulgadas cuadradas
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Comprobemos que esto es más o menos verdad.
El área con 10 cm de diámetro es
25pi
El área con el diámetro nuevo
pi(10 + 2/pi)^2 / 4 =
(100pi + 40 + 4/pi) / 4
25pi + 10 + 1/pi
restando el área anterior
25pi + 10 + 1/pi - 25pi = 10 + 1/pi
Que es más o menos el 10 que se calculó.
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Y eso es todo.
