Cómo se resuelve esta integral

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$$\begin{align}&\int x^3 \sqrt{x^2+4} dx=\int x^2·\sqrt{x^2+4} ·\;x\,dx=\\&\\&t=x^2+4\implies x^2=t-4\\&dt =2xdx\implies xdx=\frac{1}{2}dt\\&\\&=\frac 12\int(t-4)\sqrt t\;dt=\frac 12\int(t^{3/2}-4t^{1/2}dt=\\&\\&\frac 12 ·\frac {t^{5/2}}{\frac 52}-\frac 12·4·\frac{t^{3/2}}{\frac 32}+C=\\&\\&\frac{t^{5/2}}{5}-\frac{4 t^{3/2}}{3}+C=\\&\\&\frac{\sqrt{(x^2+4)^5}}{5}-\frac{4 \sqrt{(x^2+4)^3}}{3}+C=\\&\\&\frac{(x^2+4) \sqrt{(x^2+4)^3}}{5}-\frac{4 \sqrt{(x^2+4)^3}}{3}+C=\\&\\& \sqrt{(x^2+4)^3}\left(\frac{x^2}{5}+\frac 45-\frac 43  \right)+C=\\&\\&\left(\frac{5x^2-8}{15}  \right)\sqrt{(x^2+4)^3}+C\end{align}$$

Y la otra es:

$$\begin{align}&\int senx·\cos 2x\;dx=\\&\\&\int senx(\cos^2x-sen^2x)dx=\\&\\&\int senx·(2 \cos^2x-1)dx=\\&\\&t=-cosx\\&dt = senx\;dx\\&\\&\int(2t^2-1)dt=\\&\\&\frac{2t^3}{3}-t+C=\\&\\&-\frac{2cos^3x}{3}+cosx+C\\&\\&\\&\end{align}$$

Cuidado con esta segunda porque si la miras en otro sitio seguro que te van a decir una cosa distinta, que puede ser lo mismo o lo mismo más una constante pero no se parecerá en nada.  Con las integrales trigonométricas pasan esas cosas.

$$\begin{align}&\int x \sqrt[3]{x^2+4} dx\end{align}$$

El 3 es exponente de x o raiz cúbica?

Acláramelo

Raiz(x^2+4)*x^3 = raiz(x^2+4 )* x4/4  -S 1/2*2x/raiz(x^2+4)*x^4/4=raiz(x^2+4)*x^4/4 - 1/4*x^5/5 * raiz(x^2+4)     S=  integral es del tipo S u*v'=u* v - S u'*v    2) parece igual recuerda - sen^2 + cos^2= cos 2x