Duda con este problema de probabilidad
El 20 % de los peces de un lago son de la especie A y el resto de otras especies. Un investigador decide realizar el siguiente experimento: Extraer peces del lago hasta obtener 3 de la especie A (asuma que el metodo captura utilizado por el investigador
es igualmente efectivo para con todas las especies).
a) ¿Cual es la probabilidad de que el investigador realice solamente 10 extracciones?
b) Para la v.a. Definida en la parte (a), calcule el valor esperado e interpretarlo.
c) Suponga que en el lago solo hay 50 peces, 10 de los cuales son de la especie A. ¿Cual es la probabilidad de que en 10 extracciones se obtengan 3 de la especie A?
d) Bajo los supuestos de la pregunta (c), ¿cual es la probabilidad de que sean necesarias 10 extracciones para obtener 3 de la especie A?
1 respuesta
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a) Debe tener 2 peces de la especie A entre los 9 primeros y luego debe ser de la especie A el décimo. Lo primero se calcula con una binomial B(9, 0.2) y se multiplica por 0.2
$$\begin{align}&P=\left[\binom 92·0.2^2·0.8^7 \right]·0.2=\\&\\&\frac{9·8}{2}·0.2^3·0.8^7=0.0603979776\end{align}$$b)
La variable es una binomial negativa. Sabemos que si el número de éxitos que se piden es r y la probabilidad es p entonces
E[X] = r/p = 3/0.2 = 15
Quiere decir que en promedio necesitará sacar 15 peces par obtener los 3 de la especie A.
···
Los otros apartados ya los haré mañana, ahora tengo que irme.
Le.Agradecería. Mucho esos.son los que no.he entendido.como hacerlos …gracias!
Tienes que votar siempre excelente, es algo que pido a todos y más para estos ejercicios que no son del todo sencillos.
El apartado c) lo dejé anoche porque me estaba durmiendo y no es sencillo.
c)
No sirve la distribución binomial negativa porque esta se basa en que la probabilidad es siempre la misma, pero aquí conforme vayan saliendo peces y según cuáles sean irán variando las probabilidades. Luego hay que enfocarlo como un problema de probabilidad donde recontar los casos favorables y los casos posibles. Ahora que lo comparo con el apartado d) veo que en este no piden que el décimo sea de la especie A, luego la probabilidad se va a calcular mediante una hipergeométrica donde:
N = población total = 50
n = tamaño de la muestra = 10
d = elementos favorables de la población total = 10
x = elementos favorables que queremos en la muestra = 3
$$\begin{align}&P(X=x)=\frac{\binom dx\binom{N-d}{n-x}}{\binom Nn}=\\&\\&\frac{\binom {10}3\binom{50-10}{10-3}}{\binom {50}{10}}=\frac{\binom{10}{3}\binom{40}{7}}{\binom{50}{10}}=\\&\\&\frac{\frac{10!}{3!·7!·}\frac{40!}{7!·33!}}{\frac{50!}{10!·40!}}=\frac{10!·40!·10!·40!}{3!·7!·7!·33!·50!}=\\&\\&0,2177927002146204535658519847112\end{align}$$d) Será la probabilidad de que en los nueve primeros haya 2 de la especie A y que el decimo sea de la especie A.
Lo primero se calcula con la hipergeométrica de antes, solo que ahora la muestra n es de nueve y el número de éxitos deseado es x=2. Que el décimo sea de la especie A tiene una probabilidad de
8/41, ya que habrán salido antes 2 de la especie A y 9 en total.
...
Hay un problema con la página y no me deja insertar el cuadro de fórmulas. Espera que mande esto para ver si me deja insertarlo después.
A ver si ahora me deja
$$\begin{align}&P(X=x)=\frac{\binom dx\binom{N-d}{n-x}}{\binom Nn}=\\&\\&\frac{\binom {10}2\binom{50-10}{9-2}}{\binom {50}{9}}=\frac{\binom{10}{2}\binom{40}{7}}{\binom{50}{9}}=\\&\\&\frac{\frac{10!}{2!·8!·}\frac{40!}{7!·33!}}{\frac{50!}{9!·41!}}=\frac{10!·40!·9!·41!}{2!·8!·7!·33!·50!}=\\&\\&0,33485627657997894735749742649346\\&\\&\text{Multiplicamos por los }\frac 8{41}\\&\\&P(\text{tercer A el 10º})=\frac 8{41}·0,33485...=\\&\\&0,06533781006438613606975559541336\\&\end{align}$$Creo que sí.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Cambia la puntuación
