Como se determina este problema de distribución de probabilidad.

·

a) El tiempo entre accidentes es un variable exponencial con parámetro la cantidad de accidentes por unidad de tiempo.

Sea la variable aleatoria T el tiempo en semanas hasta el próximo accidente, su función de distribución es:

$$\begin{align}&P(T\le t)=1-e^{-2t}\end{align}$$

b)

La función que he dado mide el tiempo en semanas, luego 3 días son t=3/7

$$\begin{align}&P(T\ge 3/7)=1 -P(T\le 3/7)=\\&\\&1-(1-e^{-2(3/7)})= e^{-6/7}\approx\\&\\&0.4243728457\end{align}$$

c)

Calcularemos la probabilidad de que en dos semanas ocurran 0,1,2,3 ó 4 accidentes, esa será la probabilidad de que se necesiten más de dos semanas para suceder 5 accidentes.

Para dos semanas el parámetro lambda de la distribución de Poisson será el numero accidentes esperado en 2 semanas que es 4

$$\begin{align}&P(k) = \frac{e^{-4}·4^k}{k!}\\&\\&P(0,1,2,3\; ó\;4)=\\&\\&e^{-4}\left(\frac{4^0}{0!}+\frac{4^1}{1!}+\frac{4^2}{2!}+\frac{4^3}{3!}+\frac{4^4}{4!}  \right)=\\&\\&e^{-4}\left(1+4+8+\frac {32}{3}+\frac {32}3  \right)=\\&\\&e^{-4}\left(\frac{39+32+32}{3}  \right)=\frac{103}{3}e^{-4}\approx\\&\\&0.6288369352\end{align}$$

d)

El proceso de Poisson es independiente de lo que haya sucedido antes, una vez lo iniciamos las probabilidades son siempre las mismas y se calculan con la misma fórmula.

Si la media es de 2 accidentes por semana, en un día se esperan 2/7 de accidente y en 2 días 4/7 de accidente, ese será el parámetro de la distribución de Poisson.

Y hay que hallar la probabilidad de 0 accidentes en esos 2 días.

$$\begin{align}&P(0) = \frac{e^{-\frac 47}·\left(\frac 47\right)^0}{0!}=e^{-\frac 47}\approx\\&\\&0.564718122\end{align}$$

Y eso es todo.