Determinar el volumen que se obtiene al hacer girar sobre el eje X, en el primer cuadrante, las curvas dadas por las ecuaciones

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Esta es la gráfica de la regíón que engendra el columen al girar xobre el eje X.

El límite izquierdo es x=0 y el derecho se calcula igualando las funciones

senx=cosx

Y esto sucede cuando x=pi/4    (los 45º)

El volumen será el generado por la función exterior cosx al que habrá que restar el de la función interior senx. Se puede hacer todo en una sola integral, pero teniendo mucho cuidado porque no se tienen que restar las funciones sino los cuadrados de las funciones.

$$\begin{align}&V=\pi\int_{x_0}^{x_1}[f(x)^2-g(x)^2]dx\\&\\&V=\pi \int_0^{\frac \pi4}(\cos^2x-sen^2x)dx=\\&\\&\text{Es conocido que }\cos^2x-sen^2x= \cos 2x\\&\\&\pi \int_0^{\frac \pi4} \cos 2x\;dx=\\&\\&\pi ·\frac{sen 2x}{2}\bigg|_0^{\frac \pi 4}=\pi·\left(\frac 12-0\right)=\frac \pi 2\end{align}$$

Y eso es todo.