Resolver el problema de desarreglo de una permutación
Una permutación es
$$\begin{align}&σ∈S_{n}\end{align}$$Se dice que es un desarreglo si
$$\begin{align}&σ(i)≠i\end{align}$$Para toda
$$\begin{align}&i=1,2,…,n\end{align}$$Liste los desarreglos de
$$\begin{align}&S_{3}\end{align}$$Cuente los desarreglos de
$$\begin{align}&S_{4}\end{align}$$¿Cuántos arreglos hay en
$$\begin{align}&S_{n}\end{align}$$
1 Respuesta
Amo mo!
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Las permutaciones de S3 son
123, 132, 213, 231, 312, 321
Los desarreglos son
231 y 312
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Las de S4 son
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
Y los desarreglos son
2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 4321
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Los de Sn
No son cálculos fáciles, seguramente los tendrás en tu teoría y a ellos tendrás que ceñirte, si no, aquí tienes algo
http://blogs.algebra.us.es/blog/permutaciones-desarreglos-y-algun-pequeno-arreglo/
que en conclusión es
$$\begin{align}&D_n=n!·\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^n}{n!}\\&\\&\text{Pero esto se puede simplificar, porque}\\&\text{el primer y segundo término siempre}\\&\text{son 1 y -1}\\&\\&D_n=n!·\sum_{k=2}^n \frac{(-1)^n}{n!}\end{align}$$Y tenía ganas de encontrar la fórmula para comprobar si los de 4 estaban bien contados
D4= 24·(1/2 - 1/6 + 1/24)=24(12-4+1)/24 = 9
Estaba bien.
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Y eso es todo.
