Se debe juntar esta fracción ¿Cuál es la correcta ?

La opción válida es la 5).

Te justifico por qué

$$\begin{align}&\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-7x+3}=\frac{(x-1/2)(x+3)}{(x-1/2)(x-3)}=\frac{(x+3)}{(x-3)}\\&El\ segundo\ paso\ lo\ calculé\ con\ la\ cuadrática\\&x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\\&5)\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{x-3}\\&El\ numerador\ es\ binomio\ cuadrado\ perfecto\ (a+b)^2y\ el\ denominador\ diferencia\ de\ cuadrados \ (a^2-b^2)\\&\end{align}$$

Hongo rojo!

Descompongamos en factores la primera expresión:

$$\begin{align}&\frac{2x^2 +5x-3}{2x^2-7x+3}=\\&\\&\frac{2(x^2+\frac 52x-\frac 32)}{2(x^2-\frac 72x+\frac 32)}\end{align}$$

No se ve nada, lo mejor será descomponerlo hallando las soluciones de las ecuaciones

$$\begin{align}&x=\frac{-5\pm \sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}= -3 \;y\; \frac{1}2\\&\\&\text{y en el denominador}\\&\\&x=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm5}{4}=\frac 12\;y\;3\\&\\&\text{luego}\\&\\&\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-7x+3}=\\&\\&\frac{(x+3)\left(x-\frac 12  \right)}{(x-3)\left(x-\frac 12  \right)}=\frac{x+3}{x-3}\\&\\&\end{align}$$

Y ahora vamos a ver cuál de la otras funciones tiene esas mismas raíces en el numerador y el denominador

1) No tiene raíz -3 en el numerador 12-1=11

2) No tiene raíz 3 en el denominador 9-16=-7

3) No tiene raíz -3 en el numerador 9-1=8

4) No tiene raíz -3 en el numerador que es (x+1)^2

5) Tendrá que ser este, vamos a ver.

(x^2+6x+9) / (x^2-9)= (x+3)^2 / [(x+3)(x-3)] = (x+3)(x-3)

Luego la expresión es equivalente a 5)

·

Y eso es too.