Como resolver Problema de Recurrencia
Me piden :
Hallar la solucion de la relacion de la recurrencia :
f(n) = 2f(n-1) +1 , si n>1 y f(1) = 1
Creo que a la relacion le buscan su polinomio caracteristico y luego hallan las raices, luego no se que más sige .
1 Respuesta
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Se forma el polinomio característico donde la función con menor subíndice se asocia al grado cero la que tiene un subídice más al grado 1, y así sucesivamente
De
f(n) = 2f(n-1) +1
f(n) - 2f(n-1) = 1
el polinomio característico es
k-2= 0
La raíz del polinomio es k=2
Entonces la solución general de la ecuación homogenea es
yh(n) = C·2^(n)
A la ecuación general de la homogénea hay que ssumarle una solución particular de la ecuación completa para obtener la solución general de la completa.
Para la particular se ensaya con un polinomio del mismo grado que el miembro derecho
yp(n) = a
como es un polinomio constante también yp(n-1)=a
y se sustituye en la ecuación completa
a - 2·a = 1
-a = 1
a=-1
yp(n)=-1
Luego la solución general de la ecuación completa es
y(n) = yh(n) + yp(n) = C·2^n -1
Y ahora hay que variar la cosntante C para que se cumplan las condiciones iniciales
y(1)=1
C·2^1-1 = 1
C·2 - 1 = 1
2C = 2
C=1
Luego definitivamente la solución es
y(n) = 2^n - 1
o en términos de f
f(n) = 2^n - 1
Vamos a comprobarlo
De acuerdo con la definición
f(n) = 2f(n-1)+1 tendremos la sucesión
1, 3, 7, 15, 31, ...
Y de acuerdo a la función que hemos calculado
1, 3, 7, 15, 31, ....
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En realidad ejemplos tan sencillos como este se pueden resolver formando la sucesión y viendo como es el término general, pero lo hemos hecho con todos los pasos tal como sería un ejemplo más complicado.
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Y eso es todo.
