Resuelve el siguiente problema mediante el uso de demostraciones utilizando la inducción matemática.

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Para demostrar por inducción hay que demostrar que

i)  La proposición se cumple para n=1

Ii) Si se cumple para n entonces se cumple para n+1

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i)  Para n=1 la expresión es

1= (q-1)/(q-1)  es verdadero

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Ii) Supongamos que se cumple para n

$$\begin{align}&1 +q +… + q^{n-1} = \frac{q^n – 1}{q – 1}\\&\\&\text{Para n+1 tendremos}\\&\\&1 +q +… + q^{n-1}+q^n= \frac{q^n – 1}{q – 1}+q^n=\\&\\&\frac{q^n-1+q^n(q-1)}{q-1}=\\&\\&\frac{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\end{align}$$

Y tenemos que la proposición se cumple para n+1.

Luego la proposición queda demostrada por inducción.

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Y eso es todo.

Hilda: en realidad el ejercicio que te han dado es demostrar la validez de un caso particular de la serie geométrica.

Mira que la expresión que tienes del lado izquierdo se puede reescribir como

$$\begin{align}&\sum_{i=o}^{n-1}q^i\\&Por\ lo\ tanto\ te\ piden\ demostrar\\&\sum_{i=o}^{n-1}q^i=\frac{q^n-1}{q-1}\\&Yo\ voy\ a\ demostrar\ algo\ más\ general\ y\ es:\\&\sum_{i=o}^{n-1}(a\ q^i)=a \frac{q^n-1}{q-1}\\&Por\ inducción\ veamos\ para\ n=1\\&\sum_{i=o}^{1-1}(a\ q^i)=a q^0=a = a \frac{q^1-1}{q-1} (Luego,\ vale!)\\&Supongamos \ vale\ para\ n \ y\ veamos\ n+1\ o\ sea\\&\Bigg(\sum_{i=o}^{n-1}(a\ q^i)=a \frac{q^n-1}{q-1} \Bigg) \color{blue}\Rightarrow \Bigg(\sum_{i=o}^{n}(a\ q^i)=a \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \Bigg)\\&\sum_{i=o}^{n}(a\ q^i)=\sum_{i=o}^{n-1}(a\ q^i) + aq^n = (aplicamos\ Inducción)\\&a \frac{q^n-1}{q-1}+aq^n=a\bigg(\frac{q^n-1}{q-1}+q^n \bigg)=\\&a\bigg(\frac{(q^n-1)+q^n(q-1)}{q-1} \bigg)=a\bigg(\frac{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1} \bigg)=\\&a\bigg(\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \bigg)\\&Y\ quedo\ demostrado\\&\end{align}$$

y listo, en tu caso particular a=1