Como se hace este problema para una función de densidad de probabilidad.
Tengo duda con respecto a este problema, cual es el procedimiento a
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1 Respuesta
Podemos hallar la función de distribución integrando la de densidad
$$\begin{align}&F(x)=\int_{\infty}^x f(t)dt\\&\\&F(x)=\int_0^x te^{-t}dt=\\&\\&\text{es una integral por partes}\\&u=t\quad\quad\quad\quad du=dt\\&dv=e^{-t}dt\quad \quad v=-e^{-t}\\&\\&=-te^{-t}\bigg|_0^x+\int_0^x e^{-t}dt=\\&\\&-xe^{-x}+0 +\left[-e^{-t} \right]_0^x=\\&\\&-xe^{-x}-e^{-x}+1\\&\\&F(x)=1-(1+x)e^{-x}\\&\\&-------------------\\&\\&\text {Para calcular el primer cuartil}\\&\\&0.25= 1-(1+x)e^{-x}\\&\\&(1+x)e^{-x}=0.75\end{align}$$Y esta ecución no se puede resolver de manera algebraíca. Asi que supongo os habrán dicho como se tiene que resolver porque es algo que se sale completamente de lo común. A lo mejor os dejan usar ordenador, si no es un problema demasiado complejo.
no nos dieron ninguna información adicional solo nos dieron el ejercicio y hágalo como puedan, como puede resolverse ??? Valero Angel Serrano Mercadal
Puede resolverse de manera aproximada por el método de Newton-Raphson, pero no sé si lo has estudiado y es una complejidad añadida que no creo hayan querido poner. Se puede calcular a ojo haciendo la gráfica con un potente zoom. Se puede calcular con la función buscar objetivo de Excel que sería similar a lo del método de Newton-Raphson. Y finalmente lo más sencillo y lo que voy a hacer es resolverlo en la página Wolfram Alpha. Le escribiremos la ecuación:
(1+x)e^(-x)=0.75
Si lo quieres ver tendrás que copiar en enlace en el navegador porque en esta página no funcionan algunos enlaces
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2Bx%29e^%28-x%29%3D0.75
Da dos respuestas, como una es negativa no sirve ya que aquí es x >0.
Y el primer cuartil es
C1 = 0.961279
Para el segundo cuartil (o mediana) la ecuación queda
(1+x)e^(-x)=0.75
que metida en Wolfram Alpha nos da la solución
C2 = 1.67835
Y para el tercer cuartil la ecuación es
(1+x)e^(-x)=0.25
cuya solución positiva es
C3=2.69263
Y la interpretación es la del significado de los cuartiles.
Que el 25% de la problación tiene unos ingresos inferiores a 961.2$, que el 50% tiene ingresos inferiores a 1678.35$ y el 75% inferiores a 2692.63$
No sé si en tu país ponéis el $ delante o detrás del número, sé que en Méjico se pone delante, pero fuera de ahí no lo sé y en España se pone detrás tal como lo puse.
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Y eso es todo.
