Tengo una duda con este problema fdp para una variable aleatoria continua.

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La formula de la esperanza para las variables continuas es:

$$\begin{align}&E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x·f(x)dx\\&\\&\text {en este caso es}\\&\\&E(X)=\int_0^4x·\frac 3{64}·x^2(4-x)dx=\\&\\&\frac 3{64}\int_0^4(4x^3-x^4)dx=\\&\\&\frac 3{64}\left[x^4-\frac{x^5}{5}  \right]_0^4=\\&\\&\frac{3}{64}\left(256-\frac{1024}{5}  \right)=\\&\\&\frac{3}{64}·\frac{256}{5}=\frac {12}5=2.4\\&\\&\\&\text{Y la varianza es}\\&\\&V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx\\&\\&\text{Y es sabido que se puede simplificar a}\\&\\&V(X)=\frac 3{64}\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx -\mu^2\\&\\&V(X)=\frac 3{64}\int_0^4(4x^4-x^5)dx -2.4^2=\\&\\&\frac{3}{64}\left[\frac{4x^5}{5}-\frac{x^6}{6} \right]_0^4dx- 5.76=\\&\\&\frac 3{64}\left( \frac{4096}{5}-\frac{4096}{6} \right)-5.76=\\&\\&\frac 3{64}·\frac{4096}{30}-5.76 =\frac{32}{5}-5.76=0.64\\&\\&\\&\\&b) E(costo) = E(500X) = 500·E(X) = \\&\\&500·2.4 = $\,1200\\&\\&\\&V(costo)=V(500X) = 500^2V(X)=\\&\\&25000·0.64 =$\,16000\end{align}$$

c)  No, no lo rebasará.  Porque la desviación estandar será la raíz cuadrada de la varianza = $126.49.

Entonces la distancia entre los $2000 y la media de costo es

$2000 - $1200 = $800

y esto son $800/$126.49 = 6.32 veces la desviación. La probabilidad de que suceda esto es prácticamente 0. De hecho, es un valor tan anormalmente alto que no sale en las antiguas tablas escritas, lo tendrás que calcular con ordenador.

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Y eso es todo.