Demostración de probabilidad para una variable aleatoria

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La probabilidad de una distribuión geométrica es:

$$\begin{align}&P(X=x) =(1-p)^{x-1}·p = q^{x-1}·p\\&\\&\text{Dado el número a}\\&\\&P(X>a)=1-P(X\le a)=\\&\\&1-\sum_{n=1}^aq^{n-1}p=\\&\\&1-p·\sum_{n=1}^{a}q^{n-1}=\\&\\&\text{Dada la progresión geométrica}\\&a_1,\; a_1r,\; a_1r^2,...,a_1r^{k-1}\\&\text{la suma es }\quad S_k=a_1 \frac{1-r^k}{1-r} \\&\\&=1-p·1·\frac{1-q^a}{1-(1-p)}=\\&\\&1-p·\frac{1-q^a}{p}=\\&\\&1-(1-q^a)=q^a\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&P(X \gt a+b |X \gt a) =\frac{P((X\gt a+b) \cap (X\gt a))}{P(X\gt a)}=\\&\\&\text{como b positivo la intersección es los mayores de a+b}\\&\\&\frac{P(X\gt a+b)}{P(X>a)}=\\&\\&\text{y por lo demostrado en el apartado anterior}\\&\\&=\frac{q^{a+b}}{q^a}=q^b = P(X\gt b)\end{align}$$

Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido.