Como resolver este ejercicio de integral para volumen
- El sólido formado al girar alrededor del eje por la región no acotada que queda entre la gráfica de f(x)= 1/x y el eje x (x≥1) se llama la trompeta de Gabriel.
La integral para calcular su volumen por el método de los discos está dado por:
$$\begin{align}&V=π∫_1^∞(1/x)^2 dx=π(1/(2-1))=π u^3 \end{align}$$El área de la superficie está dada por
$$\begin{align}&S=2π∫_1^∞1/x √(1+1/x^4 ) dx\end{align}$$Esta función es conocida como una paradoja, porque a pesar de que su volumen es , el área de su superficie es infinita. ¿Por qué crees que esto ocurre?, ¿cómo sabemos que su área es infinita?
1 respuesta
Debes mejorar un poco las fórmulas, la del área es confusa.
Para poner un numerador y un denominador escribre
frac{x+1}{x^3-1}
Por ejemplo
En concreto la integral de la superficie es
$$\begin{align}&S=2\pi\int_1^{\infty}\frac{ \sqrt{1+\frac {1}{x^4}} }{x} dx\end{align}$$S=2\pi\int_1^{\infty}frac{ sqrt{1+frac {1}{x^4}}}{x} dx
Aunque me parece que no lo escribiste tú a mano sino que lo copiaste de algún documento. Para que salgan las fórmulas perfectas hay que aprender un poquito del lenguaje LaTeX.
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Es facíl demostrar que la integral del área es divergente, no obstante voy a ver si se podría obtener la función primitiva.
$$\begin{align}&\int\frac{ \sqrt{1+\frac {1}{x^4}} }{x} dx=\\&\\&t^2=1+\frac{1}{x^4} \implies x=\frac{1}{(t^2-1)^{1/4}}=(t^2-1)^{-1/4}\\&\\&dx=-\frac t2(t^2-1)^{-5/4}dt\\&\\&=-\frac 12\int t·(t^2-1)^{1/4}·t(t^2-1)^{-5/4}dt =\\&\\&-\frac 12\int t^2·(t^2-1)^{-1}dt=-\frac 12\int \frac{t^2}{t^2-1}dt=\\&\\&-\frac 12\int\left(1+\frac{1}{t^2-1} \right)dt=\\&\\&-\frac t2-\frac 12\int\left(\frac{a}{t+1}+\frac{b}{t-1} \right)dt =\\&\\&\text{se ve a primera vista }\;a=-\frac 12,\quad b=\frac 12\\&\\&=-\frac t2+\frac{ln|t+1|}{4}-\frac{ln|t-1|}{4}+C=\\&\\&-\frac 12 \sqrt{1+\frac 1{x^4}}+\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}+1 \right|-\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}-1 \right|+C\end{align}$$La superficie sera 2pi por la evalución de esa integral entre 1 y infinito
$$\begin{align}&S=2\pi\left[-\frac 12 \sqrt{1+\frac 1{x^4}}+\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}+1 \right|-\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}-1 \right|\right]_1^{\infty}=\\&\\&2\pi \left(-\frac 12+\frac 14ln\,2 -\frac 14ln\,0+\frac 12 \sqrt 2-\frac 14ln(\sqrt 2+1)+\frac 14ln(\sqrt 2-1) \right)\end{align}$$Y el logaritmo neperiano de 0 lo fastidia todo, tiene límite -infinito con lo cual la superficie es infinita.
Pero había una forma mucho más sencilla de demostrar que la superficie es infinita que es por comparación
$$\begin{align}&\frac{\sqrt{1+\frac 1{x^4}}}{x}\gt \frac 1x\implies\\&\\&\int_1^{\infty}\frac{\sqrt{1+\frac 1{x^4}}}{x}\gt \int_1^{\infty}\frac {dx}x=ln\,\infty-ln \,1=\infty\\&\\&\text {luego la integral diverge y la superficie es infinita}\\&\\&\\&\end{align}$$Esto sucede porque en el infinito el radio tiende a 0 y entonces el volumen interior es infinitamente menor que la superficie exterior. Ten en cuenta que volumen es una unidad cúbica y la superficie una cadrada
Tomando un trocito de longitud h del final de la trompeta el volumen es pi·h·R^2 y la superficie 2pi·h·R
La proporción superficie / volumen =2/R que cuando R tiende a 0 es una proporción infinita, luego la superficie es infinitamente superior al volumen.
Y eso es todo.
